Oblicz całkę Karol98:

	x+1
∫		dx Jak najłatwiej obliczyć taką całkę?
	(x2+x+1)2

Mariusz: (ax+b)(2x+1)+c(x²+x+1)=x+1 (2ax²+ax+2bx+b)+(cx²+cx+c)=x+1 (2a+c)x²+(a+2b+c)x+b+c=x+1 2a+c=0 a+2b+c=1 b+c=1 c=−2a a+b+(b+c)=1 b+c=1 c=−2a b=−a −a−2a=1

	1
a=−
	3

	1
b=
	3

	2
c=
	3

	1		2
−		(x−1)(2x+1)+		(x2+x+1)
	3		3

	x+1
∫		dx=
	(x2+x+1)2

1		(x−1)(−(2x+1))		2		(x2+x+1)
	∫		dx+		∫		dx
3		(x2+x+1)2		3		(x2+x+1)2

Pierwszą całkę można policzyć przez części , w drugiej licznik skróci się z mianownikiem

	x+1		1	x−1		1		1
∫		dx=			−		∫		dx+
	(x2+x+1)2		3	x2+x+1		3		x2+x+1

2		1
	∫		dx
3		(x2+x+1)

	x+1		1	x−1		1		1
∫		dx=			+		∫		dx
	(x2+x+1)2		3	x2+x+1		3		(x2+x+1)

Teraz przedstawiamy trójmian kwadratowy w mianowniku w postaci kanonicznej

	x+1		1	x−1		1		1
∫		dx=			+		∫		dx
	(x2+x+1)2		3	x2+x+1		3		1   3   (x+ )2+   2   4

	x+1		1	x−1		4		1
∫		dx=			+		∫		dx
	(x2+x+1)2		3	x2+x+1		9		2x+1   1+( )2   √3

	x+1		1	x−1		2√3		2   √3
∫		dx=			+		∫		dx
	(x2+x+1)2		3	x2+x+1		9		2x+1   1+( )2   √3

	x+1		1	x−1		2√3		√3
∫		dx=			+		arctg(		(2x+1))+C
	(x2+x+1)2		3	x2+x+1		9		3

daras: najłatwiej to poszukac odpowiedzi w tablicach całek

Mariusz: W tablicach wszystkich całek nie znajdzie Jeśli chodzi o sposób całkowania nauczany w polskojęzycznych szkołach to najpierw korzystając z liniowości przedstawiasz całkę w postaci sumy całek tak aby w pierwszej całce w liczniku funkcji podcałkowej mieć pochodną trójmianu kwadratowego z mianownika oraz w drugiej całce w liczniku funkcji podcałkowej mieć stałą

	x+1		1		2x+2
∫		dx=		∫		dx
	(x2+x+1)2		2		(x2+x+1)2

	x+1		1		2x+1		1		1
∫		dx=		∫		dx+		∫		dx
	(x2+x+1)2		2		(x2+x+1)2		2		(x2+x+1)2

Teraz pierwszą całkę łatwo policzyć podstawieniem natomiast do drugiej całki stosujesz wzór redukcyjny Jak taki wzór redukcyjny wyprowadzić ? Przydatne będzie całkowanie przez części Aby łatwiej się całkowało przez części , trzeba tak zapisać licznik aby mieć w nim x² Tutaj możemy albo rozszerzyć ułamek o 1+x² albo zapisać licznik w postaci 1=(1+x²)−x² Po zastosowaniu liniowości całkę w której w liczniku funkcji podcałkowej jest x² liczymy przez części Jak poczytasz Rachunek różniczkowy i całkowy Fichtenholza to znajdziesz tam metodę Ostrogradskiego wydzielenia części wymiernej całki

	L(x)		L1(x)		L2(x)
∫		dx =		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

M₂(x) posiada te same pierwiastki co M(x) tylko że pojedyncze M₁(x) wyznaczasz z zależności M(x)=M₁(x)M₂(x) Aby znaleźć mianowniki M₁(x) oraz M₂(x) nie musimy znać rozkładu mianownika M(x) na czynniki wystarczy że policzymy NWD(M(x),M'(x)) korzystając z algorytmu Euklidesa z dzieleniem Jeśli chodzi o liczniki to zakładamy że stopień L(x) < stopień M(x) stopień L₁(x) < stopień M₁(x) stopień L₂(x) < stopień M₂(x) przyjmujemy współczynniki literowe i różniczkujemy równość

	L(x)		L1(x)		L2(x)
∫		dx =		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

Amerykańcy stosują jeszcze podstawienie cyklometryczne jednak jest ono kiepskim pomysłem pod względem metodyki nauczania bo wymaga najpierw wprowadzenia całek z funkcyj trygonometrycznych które dość często liczy się sprowadzając do całek z funkcyj wymiernych