Eden: Czy wielomian jest funkcją liniową?

Jerzy: Jeśli jest pierwszego stopnia, to tak.

Jerzy: Lub stopnia zerowego.

Saizou : lub też stopień −∞

Adamm: Dywagacja na temat tego, czym jest wielomian. Formalnie mówiąc, wielomian nie jest funkcją. Jest to wyrażenie algebraiczne. Inaczej mówiąc, pewien symbol. Wiem, że dla wielu z was to może wydać się herezją, ale już tłumaczę. Jeśli popatrzymy się na liczby rzeczywiste, to mając dowolne dwa wielomiany, w(x) i v(x), traktując je jako funkcje f_w:R→R, f_v:R→R, gdzie f_w(a) otrzymujemy przez podstawienie wartości a za x w wyrażeniu w(x), f_v definiujemy podobnie, to f_w = f_v ⇒ w = v Innymi słowy, równość wielomianów traktowanych jako funkcje, pociąga za sobą równość wielomianów traktowanych jako wyrażenia algebraiczne. Jednak, na przykład jeśli wziąć sobie ciało Z₃, i wielomiany z Z₃, to taka implikacja już nie zachodzi. Mamy wtedy bowiem np. dla w(x) = x² oraz v(x) = x⁴, że f_v = f_w, jednak v≠w. Rzeczywiście, taka implikacja zajść w ogólności nie może, bo funkcji z Z₃ w Z₃ jest skończona ilość, a wielomianów, nieskończona. To rozróżnienie jest subtelne, i przy wielomianach o współczynnikach rzeczywistych (lub zespolonych) nam nie przeszkadza. Teraz tak, czy wielomian jest funkcją liniową? Funkcja liniowa, to funkcja f:R→R postaci f(x) = ax+b, dla pewnych współczynników a, b∊R. A zatem, czy wielomian jest funkcją liniową? Absolutnie nie. Przykładem jest tu parabola y = x².

Tadeusz: to dopytam Cię Adam ... jaka jest róznica między f(x)=2x+5 a w(x)=2x+5

Adamm: W jakim kontekście? W szkole przyjęło się, by zapisywać skrótowo "f(x) = 2x+5" do oznaczenia funkcji f:R→R zdefiniowanej wzorem f(x) = 2x+5 dla każdego x∊R. Jest to po prostu kolejny przykład niedbalstwa w szkole, zresztą uzasadnionego.

Adamm: Jeśli masz na myśli, że oba wyrażenia przedstawiają pewne wielomiany, to oczywiście f(x) = w(x), te wielomiany są równe.

ABC: przykładowo taka funkcja f(x)=x+1 to nie powinna się nazywać "funkcja afiniczna" ? warunku liniowości nie spełnia 3=f(2)=f(1+1)≠f(1)+(f(1)=4

Adamm: Można odróżniać odwzorowanie liniowe od funkcji liniowej, wtedy tego problemu nie ma.