Topologia WhiskeyTaster:

	1
Niech Y = {0} ∪ {		: n = 1, 2, 3, ...} i niech dY będzie obcięciem do Y metryki
	n

euklidesowej w ℛ. Topologia T(d_Y) składa się ze wszystkich podzbiorów Y, które albo nie zawierają zera, albo ich dopełnienie do Y jest skończone. Jest napisane, że elementy T(d_Y) nie zawierają zera. Czyli jest tak, bo dowolna kula B(a, r) należąca do T(d_Y) musi również zawierać się w Y, to jest B(a, r) ⊂ Y. Przypuszczając, że 0 należy do jednego z elementów T(d_Y), to 0 ∊ {x ∊ Y: d(a, x) < r} = {x ∊ Y: |a − x| < r} = {x ∊ Y: −r < a − x < r}. Widać, że 0 należy do tego zbioru, bo r > 0, wobec tego −r < 0. Ale wówczas znajdziemy takie elementy należące do tego zbioru, które nie należą do zbioru Y. Wobec tego taka kula nie zawiera się w Y, a więc w T(d_Y) nie ma takiego elementu, którego elementem jest 0. Tak mam to rozumieć?

Adamm: Zauważ, że zbiory {x}, x∊Y\{0} są otwarte, a do zbioru otwartego należy 0, to istnieje pewna kula która jest zawarta w tym zbiorze, a tym samym, tylko skończenie wiele elementów może być w jego dopełnieniu, bo 1/n→0

WhiskeyTaster: Jak tu pokazać, że singletony są zbiorami otwartymi? Zbiór {x} będzie otwarty, jeśli znajdziemy kulę B(a, r) ⊂ {x}. Innymi słowy znajdziemy taki promień r > 0, że: d_Y(x, x) < r, co jest prawdą. Tylko jak dobrać ten promień tak, że w B(x, r) nie ma innych elementów niż x? Właśnie tego nie rozumiem lub nie widzę.

Adamm: po prostu wybierz r<min(d(1/n, 1/(n+1), 1/(n−1)), n>1

Adamm: I singeltony nie są zbiorami otwartymi, bo 0 nie jest zbiorem otwartym

Adamm: w sensie {0}

WhiskeyTaster: Innymi słowy, jeśli wziąć podany przez Ciebie promień, to w B(0, r) będą elementy nienależące do Y? A to będzie wynikało z tego, że w przedziale (−r, r) znajdziemy liczby nienależące do Y?

Adamm: nie rozumiem co mi chcesz przekazać

Adamm: dla tego promienia B(1/n, r) = {1/n}

WhiskeyTaster: Miałem na myśli, że nie bardzo wiem jak uzasadnić, że {0} nie jest zbiorem otwartym. Ja to rozumiem tak, że gdyby {0} był zbiorem otwartym, to mielibyśmy możliwość wybrania takiego promienia, że B(x, r) ⊂ {0}. I w dodatku skoro to singleton, to x musi być równe 0. Wobec tego musiałby istnieć taki promień, że B(0, r) ⊂ {0}.

Adamm: jeśli U jest otwarty, i 0∊U, to ponieważ B(0, r)⊆U dla pewnego r>0, oraz 1/n→0, to istnieje N, że dla każdego n≥N mamy 1/n<r, a co za tym idzie, {0}∪{1/N, 1/(N+1), ...}⊆B(0, r)⊆U. W szczególności, U^c jest skończony. Gdyby {0} było otwarte, to {0}^c = {1, 1/2, 1/3, ...} byłoby zbiorem skończonym, a tak przecież nie jest.

WhiskeyTaster: Okej, rozumiem. Jeszcze trochę nauki przede mną, dziękuję za wytłumaczenie tego przykładu