N-kąt foremny Lost: W n –kącie foremnym, gdzie n ≥ 6 , iloczyn liczby najdłuższych przekątnych przez liczbę najkrótszych przekątnych jest o 342 większy niż liczba osi symetrii tego wielokąta. Oblicz n .

wredulus_pospolitus: Ok .... jakieś pomysły Czy potrafisz podać liczbę najkrótszych przekątnych w wielokącie foremnym A liczbę najdłuższych A liczbę osi symetrii

Jerzy: Zrób to , co napisał wredulus dla sześciokąta foremnego i uogólnij wzór.

Lost: Znam wzór ogólny na liczbę przekątnych n−kąta foremnego n(n−3):2, ale nwm jak zapisać wzory na liczbę najdłuższych lub najkrótszych przekątnych. Wiem, że n−kąt ma n osi symetrii.

wredulus_pospolitus: Jerzy ... dla 6−cio kąta to mało (2n−1)−kąt foremny będzie miał inne wartości niż 2n−kąt foremny Lost, a jak stoisz z kombinatoryki? Możesz to sobie poradzić korzystając z niej. Liczba najkrótszych przekątnych: 1) wybieramy jeden z 'n' wierzchołków (n sposobów) 2) najkrótsza przekątna to będzie przekątna łącząca ten wierzchołek z wierzchołkiem odległym 'o 2' od niego (czyli przykładowo dla wierzchołka w₅ najkrótsza przekątna będzie z wierzchołkiem w₃ oraz z wierzchołkiem w₇) wybieramy je na 2 sposoby 3) dzielimy to na 2 − ponieważ nie rozróżniamy 'początku i końca' przekątnej (przekątna w₅w₇ to to samo co przekątna w₇w₅)

	n*2
Stąd mamy:		= n
	2

Liczba najdłuższych przekątnych dla parzystego n: 1) wybieramy jeden z 'n' wierzchołków (n sposobów) 2) najdłuższa przekątna to będzie przekątna łącząca ten wierzchołek z wierzchołkiem 'przeciwległym' (czyli przykładowo dla wierzchołka w₅ w 12−to kącie będzie to w₁₁) wybieramy go na 1 sposób 3) dzielimy to na 2 − ponieważ nie rozróżniamy 'początku i końca' przekątnej (przekątna w₅w₁₁ to to samo co przekątna w₁₁w₅)

	n*1		n
Stąd mamy:		=
	2		2

Liczba najdłuższych przekątnych dla n nieparzystego: 1) wybieramy jeden z 'n' wierzchołków (n sposobów) 2) na przeciw tego wierzchołka nie mamy innego wierzchołka tylko bok, tak więc najdłuższe przekątne będą tymi, które łączą wybrany wierzchołek z jednym z dwóch wierzchołków tego boku − 2 sposoby. 3) dzielimy to na 2 − ponieważ nie rozróżniamy 'początku i końca' przekątnej (przekątna w₁w₆ to to samo co przekątna w₆w₁)

	n*2
Stąd mamy:		= n
	2

tak więc mamy: dla n parzystych:

	n
n*		= n + 342
	2

dla n nieparzystych: n*n = n + 342 rozwiązujesz