znajdź wzór jawny krk123: Mając podany wzór rekurencyjny wyznacz wzór jawny korzystając z funkcji tworzącej lub równania charakterystycznego. 1)a_n = 2a_n−1 + 2a_n−2 a₀=1, a₁=3, a₂=8 2)2a_n−1 + a_n−2, a₀=1, a₁ =3, a₂ =7

krk123: Nieważne, udało mi się zrobić samemu

Mila: 1) a_n = 2a_n−1 + 2a_n−2, a₀=1, a₁=3, a₂=8 Równanie charakterystyczne: x²−2x−2=0 x=1−√3 ⋁x=1+√3 a_n=A*(1−√3)ⁿ+B*(1+√3)ⁿ A i B wyznacz korzystając z war. początkowych

krk123: A=^3−2√3₆ B=^3+2√3₆ A czy jest ktoś w stanie wyznaczyć wzór jawny 3) a_n=3a_n−1+2ⁿ⁻²−1 Wynik to a_n=¹₂(3ⁿ⁻¹+1−2ⁿ) oraz wyznaczyc wzor jawny jezeli istnieje 4) (nie ma chyba tego znaku na forum) sumaF²_i=F_n+F_n+1

wredulus_pospolitus: dla (3) jakie są warunki początkowe (początkowy element) ∑ (F_i)² = F_n + F_n+1

krk123: 3) szczerze to poleceniem zadania jest pokazac, ze liczba podziałów zbioru [n] na 3 niepuste zbiory to właśnie ten wzór co podałem jako wynik. Na forum jest rozwiązanie tego zadania w sposób kombinatoryczny, a teraz omawiamy wzory jawne i musze je wyznaczyc w zadaniach. W podpowiedziach jest ten wzór, który podałem jako pierwszy. Więc warunkiem początkowym będzie a₀=3? No chyba, że nie da się tak tego zrobić to przepraszam za problem. W (4) również należy udowodnić i sytuacja podobna jak w 3) Jezeli sie da, to należy wyznaczyć wzór jawny. Zapomniałem jeszcze napisać, że Fn to Ciąg Fibonacciego.(Dalej nie mogę znaleźć tego znaku na forum, jedynie mogę go od Ciebie skopiować)

wredulus_pospolitus: Znak sumy ∑ masz na panelu nad oknem do pisania. (3) a₁ = 3 a_n = 3a_n−1 + 2ⁿ⁻² − 1 można to zrobić 'na chama': a₂ = 3a₁ + 2 − 1 a₃ = 3a₂ + 2² − 1 = 3(3a₁ + 2 − 1) + 2² − 1 = 3²a₁ + 2² + 3*2 − 3 − 1 a₄ = 3a₃ + 2³ − 1 = 3(3a₂ + 2² − 1) + 2³ − 1 = 3²a₂ + 2³ + 3*2² − 3 − 1 = = 3³a₁ + 2³ + 3*2² + 3²*2 − 3² − 3 − 1 a_n = 3ⁿ⁻¹a₁ + ∑_i=0ⁿ⁻¹ ( 3ⁱ * 2^{n−1 −i} ) − ∑_i=0ⁿ⁻² 3ⁱ szczerze mówiąc −−− nie wiem czy to jest dobrze, bo nie do końca rozpisywałem sobie

Mila: Liczba podziałów zbioru [n] na 3 niepuste zbiory. 1) liczymy liczbę suriekcji: f: {x₁,x₂,...,x_n}→{y₁,y₂,y₃} k=3

	3 j
L(n,3)=∑(j=0 do 3) (−1)n*		*(3−j)n=

	3 0		3 1		3 2		3 3
=(−1)0*		*3n+(−1)1*		*2n+(−1)2*		*1n+(−1)3*		*0=

=3ⁿ−3*2ⁿ+3 2) Liczba podziałów:

	3n−3*2n+3
an=
	3!

	1
an=		*(3n−1−2n+1)
	2

===================

krk123: Dzięki

Mila: