Bernoulli ola: xy' − y = y⁴x³ |: y⁴

xdy		1
	−		= x3
y4dx		y3

	dz		dy		dy		dz
z = y−3,		=−3y−4		⇒		= −
	dx		dx		y4dx		3dx

	xdz
czyli mam −		− z = x
	3dx

dobrze robię uczeni w piśmie?

	xdz
i dalej rozwiązuję −		= z
	3dx

rozdzielam zmienne, całkuję

	dz		dx
−∫		= ∫		+ C
	3z		x

	1
−		ln|z| = ln|x| + C
	3

i co dalej

Leszek: ln z = ln ( Cx⁻³ ) ⇒z= C* x⁻³ ⇒ y = .... Zawsze sprawdzaj otrzymany wynik obliczajac odpowiednie pochodne .

ola: pomijamy | | y = Cx co dalej

ola:

	C(x)
z =
	x3

dz		−3C		−3	dy		Cy
	=		=			⇒ y' =		4 ?
dx		x4		y4	dx		x

ola:

	y
y' = C (		)4
	x

Mariusz: xy' − y = y⁴x³

	−1
e(1−4)∫		dxy−4
	x

e^3lnxy⁻⁴ x³y⁻⁴

x2
	(xy' − y = y4x3)
y4

	x3		x2
(		y'−		)=x5
	y4		y3

	x3		x2
(−3		y'+3		)=−3x5
	y4		y3

	x3
(		)'=−3x5
	y3

x3		x6+C
	=−
y3		2

1		x6+C
	=−
y3		2x3

	2x3
y3=−
	x6+C

ola: to jest inna metoda:( C zostawiamy

Mariusz: Tak to C zostaje z całkowania Gdybyś miała jakiś warunek początkowy to można by było tę stałą obliczyć

ola: to jest metoda przewidywania? a skad wiedziałeś,ż e akurat takie będzie rozw.?

Mariusz: Tę metodę można nazwać czynnikiem całkującym Dla równania Bernoulliego istnieje czynnik całkujący o rozdzielonych zmiennych μ(x,y)=φ(x)ψ(y)

δφ(x)ψ(y)P(x,y)		δφ(x)ψ(y)Q(x,y)
	=
δy		δx

	dψ		δP(x,y)		dφ		δQ(x,y)
φ(x)		P(x,y)+φ(x)ψ(y)		=ψ(y)		Q(x,y)+φ(x)ψ(y)
	dy		δy		dx		δx

	δP(x,y)		δQ(x,y)		dφ		dψ
φ(x)ψ(y)		−φ(x)ψ(y)		=ψ(y)		Q(x,y)−φ(x)		P(x,y)
	δy		δx		dx		dy

	δP(x,y)		δQ(x,y)		dφ		dψ
φ(x)ψ(y)(		−		)=ψ(y)		Q(x,y)−φ(x)		P(x,y)
	δy		δx		dx		dy

δP(x,y)		δQ(x,y)		1	dφ		1	dψ
	−		=			Q(x,y)−			P(x,y)
δy		δx		φ(x)	dx		ψ(y)	dy

Niech

1	dφ
		=f(x)
φ(x)	dx

1	dψ
		=g(y)
ψ(y)	dy

dφ
	=f(x)dx
φ

dψ
	=g(y)dy
ψ

gdzie

δP(x,y)		δQ(x,y)		1	dφ		1	dψ
	−		=			Q(x,y)−			P(x,y)
δy		δx		φ(x)	dx		ψ(y)	dy

δP(x,y)		δQ(x,y)
	−		=Q(x,y)f(x)−P(x,y)g(y)
δy		δx

y'(x)+p(x)y(x)=q(x)y^r(x) , r∊ℛ

dy
	+py−qyr=0
dx

(py−qy^r)dx+dy=0 P(x,y)=py−qy^r Q(x,y)=1

δP		δQ
	−		=p−rqyr−1
δy		δx

	B
p−rqyr−1=Ap−(py−qyr)
	y

p−rqy^r−1=Ap−Bp+Bqy^r−1 A−B=1 B=−r A=1+B B=−r

dφ
	=f(x)dx
φ

dψ
	=g(y)dy
dψ

dφ
	=(1−r)pdx
φ

ln|φ|=(1−r)∫p(x)dx φ(x)=e^{(1−r)∫p(x)dx}

dψ		−r
	=		dy
ψ		y

ln|ψ|=−rln|y| ψ=y^−r μ(x,y)=φ(x)ψ(y) μ(x,y)=e^{(1−r)∫p(x)dx}y^−r xy' − y = y⁴x³ Teraz czynnik całkujący dla równania

	1
y' −		y = y4x2
	x

wynosi μ(x,y)=e^{(1−4)∫−1_xdx}y⁻⁴ μ(x,y)=x³y⁻⁴ ale ty masz równanie xy' − y = y⁴x³

	1
i aby otrzymać równanie y' −		y = y4x2
	x

dzielisz przez x zatem czynnik całkujący też dzielisz przez x Czynnik całkujący dla równania które rozwiązujesz to

	x2
μ(x,y)=
	y4

: dzięki ale w BOMie inaczej to wyjasniają

ola: poza tym twoje rozwiązanie po podstawieniu nie spełnia wyjściowego równania gdzieś jest oszibka

Mariusz: Podobno Bernoulli nie sprowadzał tego równania do równania liniowego xy' − y = y⁴x³ y=uv x(u'v+uv')−uv=u⁴v⁴x³ xu'v+xuv'−uv−u⁴v⁴x³=0 xu'v+(xv'−v)u−u⁴v⁴x³=0 xv'−v=0 xv'=v

v'		1
	=
v		x

dv		dx
	=
v		x

ln|v|=ln|x| v=x x²u'−u⁴x⁷=0 x²u'=u⁴x⁷ u'=u⁴x⁵

u'
	=x5
u4

−3du
	=−3x5
u4

1		x6		C
	=−		−
u3		2		2

1		x6+C
	=−
u3		2

	2
u3=−
	x6+C

	2v3
u3v3=−
	x6+C

	2x3
y3=−
	x6+C

ola: a to nie tak powinno być: ln|v| = ln|x| +lnC v = Cx

	3√2
u = −
	x2 + C'

	3√2Cx
więc y = −
	x2 + C'

Mariusz: To z v mogłoby tak być tyle że my potrzebujemy jednej funkcji v więc za C możemy przyjąć jakąś wybraną stałą

	1		x6+C
Ola tyle że z całkowania otrzymaliśmy		=−
	u3		2

	2
co po odwróceniu ułamka daje u3=−
	x6+C

:

	2
czyli u = −(		)1/3
	x6 + C

Mariusz: Tak u tyle powinno wynieść

ola:

	x3√2
to w takim razie skoro y = uv = −
	x2 + C

i to po podstawieniu nie działa

Mariusz: ale (x⁶+C)^1/3≠x²+C