Rozwiązać równania Roksana ;): Hej, mógłby ktoś rozwiązać poniższe równania różniczkowe? Sprawa życia i śmierci ^^ a) y′′ + 9y = x b) 2y′ + 5y = 5 sinx + 4 cosx c) y′ + 4y = 5 sin 3x

Mariusz: To są równania liniowe można je rozwiązywać na kilka sposobów np Przekształcenie Laplace , równanie charakterystyczne + przewidywanie bądź uzmiennianie stałych L(y⁽ⁿ⁾(x))=∫₀^∞y⁽ⁿ⁾(x)e^−sxdx=y⁽ⁿ⁻¹⁾(x)|₀^∞−∫₀^∞y^ {(n−1)}(x)(−se^−sx)dx L(y⁽ⁿ⁾(x))=0−y⁽ⁿ⁾(0)+s∫₀^∞y⁽ⁿ⁻¹⁾(x)e^−sxdx L(y⁽ⁿ⁾(x))=−y⁽ⁿ⁾(0)+sL(y⁽ⁿ⁻¹⁾(x)) L(y''(x))=−C₂+sL(y'(x)) L(y''(x))=−C₂+s(−C₁+sY(s)) L(y''(x))=−C₂−sC₁+s²Y(s) a)

	1
−C2−sC1+s2Y(s)+9Y(s)=
	s2

	1
(s2+9)Y(s)=C2+sC1+
	s2

	C2		sC1		1
Y(s)=		+		+
	s2+9		s2+9		s2(s2+9)

	C2		sC1		1	(s2+9)−s2
Y(s)=		+		+
	s2+9		s2+9		9	s2(s2+9)

	C2		sC1		1	1		1	3
Y(s)=		+		+			−
	s2+9		s2+9		9	s2		27	s2+9

	C2		1		1
y(x)=		sin(3x)+C1cos(3x)+		x−		sin(3x)
	3		9		27

	C2		1		1
y(x)=C1cos(3x)+(		−		)sin(3x)+		x
	3		27		9

Można jeszcze przyjąć inne stałe b) Można tą samą metodą ale rozwiążę ten przykład inną 2r+5=0

	5
r=−
	2

y_s(x)=Acos(x)+Bsin(x) // i nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego 2r+5=0 −2Asin(x)+2Bcos(x)+5Acos(x)+5Bsin(x)=5sin(x)+4cos(x) (−2A+5B)sin(x)+(5A+2B)cos(x)=5sin(x)+4cos(x) −2A+5B=5 5A+2B=4 W=(−4−25)=−29 W_A=(10−20)=−10 W_B=(−8−25)=−33

	10		33
yp=		cos(x)+		sin(x)
	29		29

	10		33
y(x)=Ce−5/2x+		cos(x)+		sin(x)
	29		29

c) y'+4y=5sin(3x) y'+4y=0 y'=−4y

y'
	=−4
y

dy
	=−4dx
y

ln|y|=−4x+ln|C| y=Ce^−4x y(x)=C(x)e^−4x C'(x)e^−4x−4C(x)e^−4x+4C(x)e^−4x=5sin(3x) C'(x)=e^4xsin(3x) ∫e^4xsin(3x)dx Tutaj dobór części niema większego znaczenia ale jeśli chcemy aby całka się nam zapętliła musimy być w swoim wyborze konsekwentni

	1		1
∫e4xsin(3x)dx=−		e4xcos(3x)−		∫(−cos(3x))(4e4x)dx
	3		3

	1		4
∫e4xsin(3x)dx=−		e4xcos(3x)+		∫e4xcos(3x)dx
	3		3

	1		4		1		1
∫e4xsin(3x)dx=−		e4xcos(3x)+		(		e4xsin(3x)−		∫sin(3x)(4e4x)dx)
	3		3		3		3

	1		4		1		4
∫e4xsin(3x)dx=−		e4xcos(3x)+		(		e4xsin(3x)−		∫e4xsin(3x)dx)
	3		3		3		3

	1		4		16
∫e4xsin(3x)dx=−		e4xcos(3x)+		e4xsin(3x)−		∫e4xsin(3x)dx
	3		9		9

25		1		4
	∫e4xsin(3x)dx=−		e4xcos(3x)+		e4xsin(3x)
9		3		9

	3		4
∫e4xsin(3x)dx=−		e4xcos(3x)+		e4xsin(3x)
	25		25

	e4x
C(x)=		(−3cos(3x)+4sin(3x))
	25

	5e4x
yp(x)=		(−3cos(3x)+4sin(3x))e−4x
	25

	1
yp(x)=		(−3cos(3x)+4sin(3x))
	5

Całka ogólna równania niejednorodnego jest równa sumie całki ogólnej równania jednorodnego i całki szczególnej równania niejednorodnego więc

	1
y(x)=Ce−4x+		(−3cos(3x)+4sin(3x))
	5

Leszek: C) rownanie jednorodne : dy/dx = −4y ⇒ dy/y = −4dx ⇒ ∫ dy/y = −4 ∫ dx ⇒ lny = −4x +C y= C(x) e ^{− 4x} , teraz metoda uzmienniania stalej C y' = C ' e ^−4x + (−4e^−4x C) Po podstawieniu do rownania otrzymasz : C ' e^−4x = 5 sin 3x ⇒ C ' = 5 e^4x sin 3x ⇒C= ........( calkuj przez czesci .....)

Mariusz: * oj zapomniałem dać spacji i wyszedł błąd , przydałaby się edycja wpisów

Mariusz: Leszek tak na dobrą sprawę te trzy metody które pokazałem działają na wszystkie podane równania

Leszek: Tak ,wiem , ja korzystam z komorki , wiec moje wpisy sa skromniejsze .