Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność 2a² Jay: Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność 2a² − 6ab + 15b² ≥ 0.

ford: 2a² − 6ab + 15b² ≥ 0 a² + a² − 6ab + 9b² + 6b² ≥ 0 a² + (a−3b)² + 6b² ≥ 0 Wyrażenie a² + (a−3b)² + 6b², jako suma kwadratów trzech liczb rzeczywistych, jest zawsze nieujemne

PW: Można zastosować nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną: 2a² + 15b² ≥ 2√2a²15b² = 2√30(ab)² ≥ 2•5|ab| = 10 |ab| ≥ 6|ab| ≥ 6ab

PW: Trzeci sposób: Zauważmy, że jeżeli co najmniej jedna z liczb a, b jest zerem, to nierówność jest prawdziwa. Jeżeli liczby a i b są różne od zera i mają przeciwne znaki, to również nierówność jest prawdziwa (lewa strona jest sumą trzech dodatnich składników). Jeżeli liczby a i b są tego samego znaku, to można oznaczyć b = ka, k > 0 i nierówność przyjmuje postać (*) 2a² − 6a²k + 15 a²k² > 0, k > 0 a²(2 − 6k + 15 k²) > 0 15k² − 6k + 2 > 0, k > 0. Δ = 36 − 120 < 0, i współczynnik przy k² jest dodatni, a więc nierówność i równoważna jej badana nierówność (*) jest prawdziwa.

Jay: Dziękuję za pomoc!