wielomian 2002: Pierwiastki wielomianu W(x) = x³ − 5x² + 6x − 4 to x₁, x₂, x₃. Oblicz wartość x³₁ + x³₂ + x³₃

ABC: parę tożsamości z wielomianów symetrycznych i idzie, może ktoś napisze bo mi się nie chce

lola456: ABC ma rację, wystarczy rozpisać to dla wzorów Viete'a 3−go stopnia, natomiast jest to dość żmudne, ale nie niemożliwe.

Mariusz: lola tak ale aby skorzystać z wzorów Vieta trzeba użyć tożsamości z wielomianów symetrycznych Tutaj akurat jest suma potęg więc wystarczą wzory Newtona http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1109.pdf

ICSP: Zdefiniujmy w(x) = (x−a)(x−b)(x−c) = x³ − (a+b+c)x² + (ab + bc + ac)x − abc Wielomian w posiada trzy pierwiastki : a,b,c. Dlatego w(a) = 0 w(b) = 0 w(c)= 0 Rozpisując: a³ − (a+b+c)a² + (ab + bc + ac)a − abc = 0 b³ − (a+b+c)b² + (ab + bc + ac)b − abc = 0 c³ − (a+b+c)c² + (ab + bc + ac)c − abc = 0 Dodając stronami: a³ + b³ + c³ − (a + b + c)(a² + b² + c²) + (a + b + c)(ab + bc + ac) − 3abc = 0 a³ + b³ + c³ = (a+b+c)(a² + b² + c² − ab − bc − ac) + 3abc a³ + b³ + c³ = (a+b+c)[(a+b+c)² −3(ab + bc + ac)] + 3abc