Ograniczenie ciągu kaniaramia: Zbadaj ograniczoność ciągu:

	n3+2n2+1
an =		z dołu umiem wykazać, że jest ograniczony, ale problem mam z górą
	n2+n+5

wydaję mi się, że nie jest ograniczony od góry, ale nie wiem jak to wykazać.

wredulus_pospolitus: ten ciąg NIE JEST ograniczony z góry bo lim_n−>∞ a_n = +∞

wredulus_pospolitus: Na jakim poziomie nauczania jesteś Jeżeli na studiach to możliwe że musisz wykazać z definicji, że nie jest to ciąg ograniczony.

kaniaramia: Niestety studia, ale Profesor nie wymaga aż jakiś mega skomplikowanych dowodów. Myślałem nad dowodem nie wprost, ale coś mi nie idzie biorę sobie jakieś e∊N

n3+2n2+1
	<=e /*n2+n+5
n2+n+5

n³+2n²+1<=e(n²+n+5) i nie wiem jak dalej dojść do sprzeczności

wredulus_pospolitus: ja bym to zrobił w ten sposób:

	n3 + 2n2 + 1		n3 + n2 + 5n + n2 − 5n + 1
an =		=		=
	n2 + n + 5		n2 + n + 5

	n2 + n + 5 − 6n − 4		6n + 4
= n +		= n + 1 −
	n2 + n + 5		n2 + n + 5

i kluczowe jest to pierwsze n przed ułamkiem <−−− to 'n' powodować będzie brak ograniczoności

kaniaramia: na pewno wiemy że n³+2n²+1≥n²+n+5

kaniaramia: A w sumie faktycznie, dziękuję.

wredulus_pospolitus:

	6n + 4
ewentualnie ... można jeszcze wykazać, że ciąg bn = 1 −		jest
	n2 + n + 5

ograniczony.

wredulus_pospolitus: tak więc ... ja bym to wykazał tak:

	10		3
bn jest ciągiem ograniczonym z dołu przez b1 = 1 −		= −
	7		7

	3
więc: an = n + bn ≥ n + b1 = n −		= cn
	7

wykazanie, że ciąg c_n nie jest ograniczony będzie już chyba bezproblemowe, prawda A wniosek z tego będzie: skoro a_n ≥ c_n dla dowolnego n∊N₊ i c_n nie jest ograniczony, więc a_n nie jest ograniczony

kaniaramia: Tak to jest spoko, teraz mam taki durnowaty przykład a_n = ⁿ√3ⁿ + 4ⁿ

kaniaramia: w sumie to jest ogarniczony z doły przez 0 a z góry przez 3ⁿ+4ⁿ?

wredulus_pospolitus: i co z nim 4 = ⁿ√0 + 4ⁿ ≤ a_n ≤ pn{4ⁿ + 4ⁿ| = ⁿ√4*4ⁿ = 4*ⁿ√4 ≤ 4*(4^1/1) = 4*4 = 16

wredulus_pospolitus: miałeś/−aś tw. o 3 ciągach Zauważ, że robię coś baaardzo podobnego

kaniaramia: Jeszcze nie miałem, ale sobie doczytam.