Ciągi arytmetyczne i geometryczne Damian: Witam. Mam problem z ciągami i mimo, że mam wszystkie wzory przed sobą utknąłem na pierwszym zadaniu. Proszę o pomoc w rozwiązaniu wraz z drobnym wyjaśnieniem. 1. Suma dziewięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym a2 = −3, a6 = −11 jest równa? 2. Wzór ogólny ciągu arytmetycznego (an), w którym a3= −2, a10= −16 to? 3. O ciągu geometrycznym (an) wiadomo, że nie jest monotoniczny, a5=1 i a9= 4. Iloraz q tego ciągu jest równy? 4. Oblicz sumę wszystkich nieparzystych liczb trzycyfrowych. 5. Liczby x+2, 2x−1, x tworzą (w podanej kolejności) ciąg arytmetyczny. Oblicz ile wynosi X Z góry dziękuję

xyz: 1. korzystaj ze wzoru a_n = a₁ + (n−1)*r czyli np. a₆ = a₁ + 5*r = − 11 a₂ = ... I dostaniesz uklad rownan

wredulus_pospolitus: 2. a₁₀ = a₁ + 9r a₃ = a₁ + 2r wyznacz a₁ i r podstaw do wzoru a_n = a₁ + (n−1)*r

Tadeusz: 1) To napisz sobie wzór na sumę pierwszych 10 wyrazów ciągu arytmetycznego i zobacz czego potrzebujesz Oczywiście a₁ i r. Mając a₂ i a₆ wyznaczysz r a dalej mając a₂ i r wyznaczysz a₁

wredulus_pospolitus: 3. Skoro wiemy, że NIE JEST monotoniczny, to znaczy, że q < 0

a9
	= q9−5 = q4 −−−> wyznacz 'q'
a5

Tadeusz: 1) To napisz sobie wzór na sumę pierwszych 9 wyrazów ciągu arytmetycznego i zobacz czego potrzebujesz Oczywiście a₁ i r. Mając a₂ i a₆ wyznaczysz r a dalej mając a₂ i r wyznaczysz a₁

wredulus_pospolitus: 4) Bez kombinowania żadnego: a₁ = 101 a_n = 999 a_n = 101 + (n−1)*2 −−−−> n = ...

	a1 + an
Sn =		*n = ....
	2

wredulus_pospolitus: 5) skoro liczby w podanej kolejności: x+2 ; 2x − 1 ; x tworzą ciąg arytmetyczny to wiemy, że: a₃ = x a₁ = x+2 −−−> 2r = a₃ − a₁ = −2 −−−> r = −1 r = a₂ − a₁ = 2x−1 −(x+2) = x − 3 x−3 = −1 −−−−> x = ...

Damian: Zatrzymałem się na pierwszym. Jak mam obliczyć r znając a2 i a6?

wredulus_pospolitus: np. tak: a₆ − a₂ = (a₁ + 5r) − (a₁ + r) = a₁ + 5r − a₁ − r = 4r albo zapamiętując wzór: a₆ − a₂ = (6−2)*r

Damian:

	1
Czyli r = − 3		?
	2

Damian: Zjadłem jednego minusa!

Damian: r= −2 Dzięki wielkie. Wzór a6 − a2 = (6−2)*r na prawdę baaaardzo mi pomógł

wredulus_pospolitus: ogólna postać tego wzoru to: a_m − a_n = (m−n)*r i jest to prawdą dla DOWOLNYCH m,n (gdy mówimy o ciągu arytmetycznym) natomiast w ciągu geometrycznym będziemy mieli:

am
	= qm−n
an

Damian: Zapamiętam sobie te wzory bo zaoszczędzają dużo liczenia. Jeszcze raz dziękuję!

Damian: 2. an = 4 −2n?

wredulus_pospolitus: 2) −−− r = −2 a₁ = a₃ − 2r = −2 + 4 = 2 a_n = 2 −2(n−1) = 4 − 2n jest ok

Damian: 3.

4
	= q4
1

q⁴ = 4 q =√4 q = 2 ?

Damian: A w 4 nie mam pojęcia jak wyciągnąć n z tego wzoru Wyszło mi, że an = 2n +99 i nie wiem co mam o tym myśleć

wredulus_pospolitus: nie ! q⁴ = 4 −−−> q = −4^1/4 = −2^{2* 1/4} = −2^1/2 = −√2 dlaczego ten 'minus' −−− wyjaśniłem wcześniej (chodzi o monotoniczność a raczej jej brak).

wredulus_pospolitus: a w 4) a₁ = 101 ; a_n = 999 podstawiamy do wzoru i mamy: 999 = 101 + (n−1)*2 −−−− wyznaczasz 'n' I podstawiasz wszystko do wzoru na S_n

Damian: Aaa czyli skoro q < 0 to q = − 4¹/4 Rozumiem 4. zrozumiałem Sn = 22 702 275 (z kalkulatorem)

Damian: A 5. x = 2 wszystko zrozumiałe Wielkie dzięki wszystkim <3 Jesteście niesamowici!

Mila: 3) O ciągu geometrycznym (an) wiadomo, że nie jest monotoniczny, a5=1 i a9= 4. Iloraz q tego ciągu jest równy? a₅=a₁*q⁴ a₉=a₁*q⁸ ======= a₁*q⁴=1 a₁*q⁸=4 ====== dzielimy stronami

a1*q4		1
	=		⇔
a1*q8		4

1		1
	=
q4		4

q⁴=4 q=⁴√4 lub q=−⁴√4⇔ q=√2 lub q=−√2 wybieraj q licz a₆, a₇,a₈ a₉ to będziesz widział co wybrać.