szeregi potęgowe lola456: Oblicz sumę szeregu liczb wykorzystując odpowiednio dobrany szereg potęgowy.

1		2		3		4		5
	−		+		−		+		+...
2		4		8		16		32

Nie wiem za bardzo jak ująć to w szereg, jedyne co wymyśliłam to:

	(−1)n + 1 * n
Σn = 1		xn
	2n

Czy ktoś mógłby naprowadzić mnie na właściwą drogę oraz odpisać sposób w jaki rozwiązuje się takie zadania? Serdecznie dziękuję za pomoc.

Adamm:

	(−1)n+1*n
= ∑		= ∑ −n*xn, gdzie x = −1/2
	2n

Adamm:

	1		1
∑ −nxn = −x ∑ nxn−1 = −x ∑ (xn)' = −x (∑ xn)' = −x (		)' = −x
	1−x		(1−x)2

lola456: A skąd bierze nam się to przejście do −nxⁿ ? trzeba sobie to jakoś rozpisać, czy np. za x podstawić tą −1/2?

Adamm: trzeba podstawić

lola456: OK. Dziękuję bardzo za szybką i konkretną odpowiedź Pozdrawiam

lola456: A gdy mam zaleźć podobną sumę:

	1		1		1
1 −		+		−		+...
	2		3		4

to będzie to wyglądało tak:

	(−1)n + 1		−xn
∑		= ∑
	n		n

i jak z tego policzyć sumę?

Adamm: tak Tutaj liczysz całkę

	xn+1		1		1
∑		= ∑ ∫0x yn dy = ∫0x ∑yn dy = ∫0x		dy = ln(		)
	n+1		1−y		1−x

dla |x|<1 z twierdzenia Abela https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%27s_theorem#Theorem

	xn+1		1
∑		= ln(		) dla x∊[−1, 1)
	n+1		1−x

ICSP: Jest też funkcja która zajmuje się takimi sumami. Nazywamy ją polilogarytmem.

lola456: Dziękuję bardzo za pomoc