Matura f123: Matura Wyznacz parametr a (a ∊ R), dla ktorego wielomian w(x) = x³ − ax + a − 1 ma ujemny pierwiastek dwukrotny. Dla wyznaczonej liczby a oblicz pierwiastki wielomianu w

f123: Oczywiscie zadanie bardzo proste

salamandra:

	3
Dla		? Zanim dodam rozwiazanie
	4

f123: dokladnie, ale to nie jest koniec zadania

salamandra: Wiadomo, aktualnie na dworzu jestem, ale policzyłem pochodna i zrobiłem układ równań, że x³−ax+a−1=0 3x²a=0

f123: @salamandra mozna tez pogrupowac, albo zauwazyc cos innego

salamandra: No to nie mam pomysłu oprócz pochodnej, chyba ze podpowiedziałbys bardziej

salamandra: Chyba ze x³−1 rozbić?

ZKS: x³ − ax + a − 1 = x³ − 1 − ax + a Coś widać?

salamandra: (x−1)(x²+x+1)−a(x−1)=(x−1)(x²+x+1−a) x=1 v x²+x+1−a żeby był pierwiastek dwukrotny to Δ=0 Δ=1−4(1−a)=1−4+4a=4a−3

	3
Δ=0 ⇔ a=
	4

f123: Albo zauwazyc, ze W(1) = 0

ZKS: Jeszcze pierwiastki do wyliczenia i wszystko będzie.

ICSP: Patrzymy kiedy zeruje się wyróżnik tzn liczymy wyznacznik macierzy: |1 0 −a a−1 0| |0 1 0 −a a−1| |3 0 −2 0 0 | |0 3 0 −2 0 | |0 0 3 0 −a | Po obliczeniu wychodzi −4a³ + 27(1−a)²

	3
Stosowne równanie daj zatem a = 3 v a =
	4

Pierwsza opcja odpada ze względu na regułę znaków Kartezjusza

	3
Musi, więc być a =
	4

Powstaje wielomian

	3		1
w(x) = x3 −		x −
	4		4

który może być zapisany w postaci

	1
w(x) =		(x−1)(2x +1)2
	4

salamandra: