:) AHQ: Niech S_r(n)=1^r+2^r+3^r+...+n^r. Znaleźć wzór rekurencyjny na S_r(n) Wiem, że już było, ale nie chodzi o pokazanie wzoru na S_r(n+1) tylko S_r+1(n) Podobno mają być to jakieś manipulacje sumami i funkcjami tworzącymi. Proszę o pomoc.

Saizou : Spróbuj najpierw sam. Oblicz sumę 1²+2²+...+n² Potem wyznacz 1³+2³+...+n³ może coś zauważysz xd

AHQ:

	(n)(n+1)
1+2+3+...+n=
	2

	n(n+1)(2n+1)
12+22+32+...+n2=
	6

	n(n+1)
13+23+33...n3=[		]2
	2

Saizou : a jak to wyprowadzasz? bo wzory każdy może wygooglować

Mariusz: Jak mamy podaną potęgę to możemy właśnie ułożyć równanie rekurencyjne a później rozwiązać je funkcją tworzącą s₀=0 s_n=s_n−1+n³ (n+1)(n+2)(n+3)=(n+1)(n²+5n+6) (n+1)(n+2)(n+3)=n³+6n²+11n+6 (n+1)(n+2)=n²+3n+2 (n+1)(n+2)(n+3)−6(n+1)(n+2)=(n³+6n²+11n+6)−6(n²+3n+2) (n+1)(n+2)(n+3)−6(n+1)(n+2)=n³−7n−6 (n+1)(n+2)(n+3)−6(n+1)(n+2)+7(n+1)=(n³−7n−6)+7(n+1) (n+1)(n+2)(n+3)−6(n+1)(n+2)+7(n+1)=n³+1 (n+1)(n+2)(n+3)−6(n+1)(n+2)+7(n+1)−1=n³ S(x)=∑_n=0^∞s_nxⁿ ∑_n=1^∞s_nxⁿ=∑_n=1^∞s_n−1xⁿ+∑_n=1^∞(n+1)(n+2)(n+3)xⁿ −(∑_n=1^∞6(n+1)(n+2)xⁿ)+∑_n=1^∞7(n+1)xⁿ−(∑_n=1^∞xⁿ)

	k!
∑n=0∞[∏i=1k(n+i)]xn=
	(1−x)k+1

Powyższy wzorek można wyprowadzić np z k krotnego różniczkowania szeregu geometrycznego ∑_n=1^∞s_nxⁿ=x∑_n=1^∞s_n−1xⁿ⁻¹+∑_n=0^∞(n+1)(n+2)(n+3)xⁿ −6(∑_n=0^∞(n+1)(n+2)xⁿ)+7(∑_n=1^∞(n+1)xⁿ)−(∑_n=1^∞xⁿ) ∑_n=0^∞s_nxⁿ=x∑_n=0^∞s_nxⁿ+∑_n=0^∞(n+1)(n+2)(n+3)xⁿ −6(∑_n=0^∞(n+1)(n+2)xⁿ)+7(∑_n=0^∞(n+1)xⁿ)−(∑_n=0^∞xⁿ)

	6		12		7		1
S(x)(1−x)=		−		+		−
	(1−x)4		(1−x)3		(1−x)2		1−x

	6		12		7		1
S(x)=		−		+		−
	(1−x)5		(1−x)4		(1−x)3		(1−x)2

	1		7
sn=		(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)−2(n+1)(n+2)(n+3)+		(n+1)(n+2)−(n+1)
	4		2

	1
sn=		(n+1)((n+2)(n+3)(n+4)−8(n+2)(n+3)+14(n+2)−4)
	4

(n+2)(n+3)(n+4)=(n+2)(n²+7n+12) (n+2)(n+3)(n+4)=n³+9n²+26n+24 (n+2)(n+3)(n+4)−8(n²+5n+6)=(n³+9n²+26n+24)−8(n²+5n+6) (n+2)(n+3)(n+4)−8(n²+5n+6)=n³+n²−14n−24 (n+2)(n+3)(n+4)−8(n²+5n+6)+14(n+2)=(n³+n²−14n−24)+14(n+2) (n+2)(n+3)(n+4)−8(n²+5n+6)+14(n+2)=n³+n²+4 (n+2)(n+3)(n+4)−8(n²+5n+6)+14(n+2)−4=n³+n²

	1
sn=		(n+1)2n2
	4

Jack: Wszystkie wzory na sumy mozna wyprowadzac korzystajac z roznicy poteg o jeden wyzszych, tzn. np. suma 1+2+3+ ... + n mozna ja wyznaczyc w ten sposob: Niech f(n) = n² wtedy g(n) = f(n) − f(n−1) = n² − (n−1)² = n² − n²+2n−1 = 2n−1 zatem g(1) = 1² − 0² = 2*1 − 1 g(2) = 2² − 1² = 2*2 − 1 g(3) = 3² − 2² = 2*3 − 1 ... g(n) = n² − (n−1)² = 2*n − 1 Sumujac wszystko: − czerwone sie skracaja ze soba i zostaje: n² − 0² = n² − niebieskie: 2*(1+2+3+...+n) − 1*n = 2(1+2+3+...+n) − n zatem n² = 2(1+2+3+...+n) − n czyli

	n2+n		n(n+1)
1+2+3+...+n =		=
	2		2

Dla kazdej potegi wyzszej analogicznie − tzn. wzor na sume kwadratow 1²+2²+3² + ... + n² mozna wyznaczyc korzystajac z f(n) = n³ g(n) = f(n) − f(n−1) = n³ − (n−1)³ = ...

AHQ: 1+2+3+...+n wyznaczyłbym raczej za pomocą ciągu arytmetycznego Jeżeli jednak − jako przykład − może być tak ? ∑_k=1ⁿk²=∑_k=2ⁿk²+1=∑_k=1ⁿ⁻¹ (k+1)²+1=∑_k=1ⁿ (k+1)²+1−(n+1)² ∑_k=1ⁿ k²=∑_k=1ⁿ k² + 2∑_k=1ⁿ k + ∑_k=1ⁿ 1 +1−n²−2n−1

	n(n+1)
∑k=1n=
	2

Taką drogą dojdę do ogólnego wzoru rekurencyjnego ?