Równania rekurencyjne Martyna: a_n = 4a_n−1 −3a_n−2 +2ⁿ n≥2 a₀=0, a₁ = 3

AHQ: Może za pomocą funkcji tworzącej ?

AHQ: a_n=4a_n−1−3a_n−2+2ⁿ n ≥ 2 a₀=0, a₁=3 Definiujemy funkcję tworzącą dla ciągu a_n A(X) = ∑_n=0^∞a_nXⁿ = a₀ + a₁X + a₂X²+... Chcemy teraz, aby nasza suma zaczynała się od 2−ego wyrazu, tak aby móc później wstawić nasz ciąg. Ma to wyglądać tak: ∑_n=2^∞a_nXⁿ Mamy więc: A(X) = ∑_n=0^∞a_nXⁿ = ∑_n=2^∞a_nXⁿ ∑_n=2^∞ = ∑_n=2^∞(4a_n−1−3a_n−2+2ⁿ)Xⁿ + a₀ + a₁X =4∑_n=2^∞(a_n−1)Xⁿ − 3∑_n=2^∞(a_n−2)Xⁿ + ∑_n=2^∞2ⁿXⁿ + a₀ + a₁X Teraz chcemy otrzymać równe indeksy (te przy ciągach i X) więc wyciągamy ustaloną ilość X−ów przed nawias A(X)=4X∑_n=2^∞(a_n−1)Xⁿ⁻¹ − 3X²∑_n=2^∞(a_n−2)Xⁿ⁻² + ∑_n=2^∞2ⁿXⁿ + a₀ + a₁X

	4X2
A(X) = 4X (A(x) + a0) −3X2 * A(X) +		+3X −−−−− a0=0, a1=3
	1−2X

Zauważ, że poprzez wyciągnięcie X przed nawias, pozostałość możemy zapisać jako naszą funkcję tworzącą plus lub minus jeszcze coś (lub nic).

	4X2
Wyrażenie ∑n=2∞2nXn zapisałem jako		czyli sumę szeregu geometrycznego,
	1−2X

No i na końcu podstawiłem a₀ i a₁ z założeń Teraz (już po wyznaczeniu A(X) z naszego równania) otrzymujemy:

	−2X2+3X		−2X2+3X
A(X) =		−−−>
	(1−2X)(3x−1)(x−1)		(1−X)(1−2X)(1−3X)

Rozbijamy na ułamki proste, potem sprowadzamy do wspólnego mianownika, grupujemy wyrazy przy X², X i wyrazy wolne i następnie porównujemy liczniki

	a		b		c
A(X)=		+		+
	1−X		1−2X		1−3X

licznik > (6a+3b+2c)X² + (−5a−4b−3c)X +a+b+c Układ równań: 6a+3b+2c=−2 −5a−4b−3c=3 a+b+c=0

	1		7
a= −		, b=−4, c=
	2		2

	12		−4		72
A(X)=		+		+
	1−X		1−2X		1−3X

Zapisujemy to jako szereg potęgowy, a zatem: A(X)=¹₂∑_n=0^∞Xⁿ − 4∑_n=0^∞2ⁿXⁿ + ⁷₂∑_n=0^∞3ⁿXⁿ A(X)=∑_n=0^∞(¹₂−4*2ⁿ+⁷₂*3ⁿ)Xⁿ A tą postać już znamy z samego początku Zatem a_n=¹₂−4*2ⁿ+⁷₂*3ⁿ Możemy jeszcze sprawdzić a_o i a₁ dla pewności Jak coś nie jasne to pytaj. Może gdzieś jakiś mały błąd się wkradł więc proszę też innych o uwagi.

Mila: (*) a_n = 4a_n−1 −3a_n−2 +2ⁿ , n≥2 a₀=0, a₁ = 3 II sposób 1) Równanie charakterystyczne: x²−4x+3=0 x₁=1, x₂=3 2) Przewidywana postać rozwiązania: a_n⁽¹⁾=A*1ⁿ+B*3ⁿ a_n⁽²⁾=C*2ⁿ a_n=A+B*3ⁿ+C*2ⁿ − wyznaczamy wartość C − podstawiamy do (*) C*2ⁿ=4*C*2ⁿ⁻¹−3*C*2ⁿ⁻²+2ⁿ

	1		1
C*2n=4*C*2n*		−3*C*2n*		+2n /:2n
	2		4

	3
C=2C−		C+1
	4

C=−4 a_n=A+B*3ⁿ−4*2ⁿ 3) Korzystamy z war. początkowych: a₀=0=A+B*3⁰−4*2⁰ A+B−4=0 a₁=3=A+B*3−4*2 −−−−−−−−−− A+B=4 A+3B=11 −−−−−−−−−−−

	1		7
A=		, B=
	2		2

	1		7
4) an=		+		*3n−4*2n
	2		2

=======================