Ciągłość Kiedy: ?Podczas badania ciągłości funkcji, kiedy możemy nie liczyć prawo− i lewostronnej granicy, a tylko jedną?

wredulus_pospolitus: Kiedy mamy pewność że granica lewo i prawostronna wyjdzie taka sama

wredulus_pospolitus: W większości przypadków (przy badaniu ciągłości) będziesz liczył granice lewo i prawostronną, więc może po prostu wyrób sobie nawyk, że musisz to robić i to rób.

wredulus_pospolitus: A jak nabierzesz wprawy ... to sam/−a będziesz wiedział/−a kiedy granice jednostronne nie będą potrzebne (patrząc na wzór badanej funkcji)

Kiedy: Mam

	arctg2x
f(x) =		dla x≠0
	ln(1+x2)

a dla x=0 Obliczam z rozwinięcia Taylora granicę. Funkcja stanowi złożenie funkcji trygonometrycznej, wykładniczej, logarytmicznej i wielomianowej − wszystkie ciągłe i różniczkowalne, dlatego f, jako ich złożenie, jest ciągła i różniczkowlna, daltego nie liczę prawo− i lewostronnych granic. Ponadto a=1 (lim dla x→0) Mam problem z pytaniem: jeśli różniczkowalna, ile wynosi f'(0)? Właśnie obliczam pchodną, ale prosiłbym o pomoc przy: czy funkcja jest wówczas klasy C¹? C¹ interpretuję jako jednokrotnie różniczkowalną, a wydaje mi się, że będzie C^∞

wredulus_pospolitus: Masz podane, aby robić to Taylorem

Kiedy: Nie, uznałem, że prościej. Czy coś jest nieprawidłowego?

wredulus_pospolitus: Funkcja jest minimum klasy C¹ ... zapewne będzie C^∞ Taka jedna uwaga −−− jeżeli masz wyznaczyć f'(0), to niekoniecznie potrzebujesz do tego pochodną funkcji f(x). Zauważ, że funkcja f(x) jest parzysta Związku z tym, skoro jest ciągła i różniczkowalna w x=0 ... to f'(0) = 0 (w x=0 MUSI być ekstremum lokalne)

Kiedy: To znaczy d'Hospitalem również widzę, że otrzymam jedynkę. Lepiej uznać, że d'Hospital?

wredulus_pospolitus: Ja bym robił 'szpitalem' ... ale to tylko dlatego, że jestem do tego przyzwyczajony i robię to 'półautomatycznie'

Kiedy: Jak uzasadnić, że funkcja jest parzysta?

Kiedy: Nie do końca rozumiem związki przyczynowo−skutkowe w Twoim ostatnim zdaniu.

wredulus_pospolitus:

	(arctg(−x))2		(−arctgx)2
f(−x) =		=		=
	ln(1 + (−x)2)		ln(1+x2)

	(arctgx)2
=		= f(x)
	ln(1+x2)

czyli funkcja f(x) jest parzysta

Kiedy: Jakie śliczne

wredulus_pospolitus: skoro funkcja jest parzysta to zachodzi: f(0 + x) = f(0 − x) dla każdego x ∊ R skoro funkcja jest CIĄGŁA (i różniczkowalna) w R, to znaczy że f(0) = 'jakaś wartość' o ile tylko funkcja f(x) nie jest funkcją stałą w otoczeniu x₀ = 0 −−− to dla f(0) musimy mieć ekstremum lokalne. A nawet jeżeli funkcja f(x) jest funkcją stałą w otoczeniu x₀ = 0, to i tak mamy f'(0) = 0

Kiedy: Jednak jaki jest związek parzystości z różniczkowalnością, ciągłością, ekstremum?

Kiedy: Parzystość wykorzystujemy do szacowania granicy? Prawo− i lewostronna granica zgadzają się, funkcja jest ciągła dla x→0, zatem f'(0) = lim