maturka maturka: zad1 Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f(x)= (x−1)(x−2)(x−3)(x−4) +5 zad2 Wykaż,że liczba : 2020²+(2020*2019)²+2021² jest kwadratem liczby naturalnej tylko dla maturzystów Powodzenia

maturka: Sorry poprawiam chochlika w zad2/ zamiast 2019 ma być 2021

f123: w czym problem?

Eta: Ja nie mam problemu

Szkolniak:

	65
Czy w 1 zadaniu odpowiedź to		?
	16

Eta:

Szkolniak: To chyba nieźle nawymyślałem Chyba najlepiej rozbić postać funkcji f na iloczyn dwóch kwadratowych, prawda?

Eta: Myśl dalej......... myślenie ma przyszłość i nie boli

Maciess: W 2 lepiej od razu rozpatrzeć ogólniejszy przypadek niż się babrać w tych latach

Szkolniak: Ok, mam rozwiązanie ale daję sobie głowę uciąć że nie jest to najoptymalniej

f123: @Eta czy w pierwszym to po prostu bedzie 5?

Szkolniak: Za prosto by było

f123:

89
	?
16

Janek: W zad 1 może by było wymnożyć wszystkie wielomiany, obliczyć pochodną, sprawdzić wartości w ekstremach i granicach?

f123: @Janek mozna, tak zrobilem tyle ze wyszedl mi wielomian stopnia 3ciego a jego pierwiastki to

	5 − √5		5		5 + √5
		,		,
	2		2		2

f123:

	5 − √5
i teraz f(		) = ...
	2

Mila: 4

Mila: Podpowiedź: f(x)=[(x−1)*(x−4)]*[(x−2)*(x−3)]+5 Wymnożyć w nawiasach kwadratowych i pomyśleć!

f123: @Mila no dobra, to w takim razie dlaczego nie wychodzi to z policzenia pochodnej, nastepnie minimum i podstawic do f(x)?

Mila: Też wychodzi, tylko obliczenia są nieprzyjazne.

f123:

	5 − √5
f(		) ≠ 4
	2

salamandra: wieczorem wpadnę, ale z tego co mi się wydaję, to ja bym rozpatrzył te cztery nawiasy, policzył pochodną, ekstrema, a pozniej o 5 jednostek w górę przesunął wykres?

Mila: Nieprawda, wpisz w wolfram, a wyjdzie 4.

Mila: Salamandra, zrób, jak napisałam we wskazówce. Pomyśl trochę, jak ułatwić sobie pracę. Bez pochodnej.

Mila: Szkolniak ,a co Tobą? Wczoraj trudniejsze zadania rozwiązałeś.

f123: @Mila faktycznie, wychodzi, blad w obliczeniach

salamandra: f(x)=(x²−5x+4)*(x²−5x+6)+5 nie wiem szczerze mówiąc jak to "złączyć" ze sobą.

	5		−9
Pierwsza funkcja ma miejsca zerowe 1 i 4, a jej wierzchołek to (		,		)
	2		2

	5
Druga funkcja miejsca zerowe: 2,3, a wierzchołek to U{		, −1}
	2

wredulus_pospolitus: salamandra pierwszy nawias masz: x² − 5x + 4 drugi nawias masz: x² − 5x + 6 co by można było zrobić żeby uzyskać znowu jakiś wzór skróconego mnożenia

f123: @salamandra tez za bardzo nie wiem jak to polaczyc @wredulus_pospolitus znowu wzor skroconego mnozenia? Nie uzyskalismy zadnego przedtem

Mila: Nie patrz na różnice ale na to co jednakowe

Eta:

Eta: Hej Mila

wredulus_pospolitus: dobra ... nie ma co podpowiadać ... bo się skończy na tym, że sami to zrobimy

salamandra: Podstawić jakaś zmienna pomocnicza za to? x²−5x=t? Na przykład?

Eta: Od kiedy "wrednulus" to maturzysta ?

Eta:

wredulus_pospolitus: 'Poprawiam' maturę w tym roku

Eta: W tym roku? a to dlatego,że jej nie będzie!

f123: @salamandra licz z pochodnej tak jak ja, jak dobrze policzysz wszystko to wyjdzie, ze dla x =

	5 − √5
		przymuje wartosc najmniejsza
	2

salamandra: wiem, że wyjdzie, ale "kazali" się nie męczyć , to próbuję, ciekaw jestem tego innego sposobu

Mila: Nie słuchaj , masz dobry pomysł 18:06. Już nic nie piszę, bo [F[Eta] mnie wyrzuci z forum.

wredulus_pospolitus: Etuś .... ciii ... bo się wyda

Eta: dla Mili za milczenie

wredulus_pospolitus: Miluś ... pomysł dobry ... ale to jest "nie do końca to" I też teraz milknę bo już i tak na dywaniku u Ety jestem

f123: @Mila dobra, widze to, ciekawy sposob

Eta: No to naszym pilnym maturzystom dałam "zagwozdkę"

Mila: Bardzo ładne zadanko. Dorzucam w tym samym stylu. Rozwiąż równanie w zbiorze liczb rzeczywistych:

3		1		4		4		1		3
	+		+		+		+		+		=0
x		x−1		x−2		x−3		x−4		x−5

salamandra: Zabronione są chwyty w postaci doprowadzania do wspólnego mianownika i później wymnazania ich?

Mila: Niezupełnie zabronione. Skorzystaj z pomysłu z poprzedniego zadania.

Mila: f123 ? Rozwiązuj.

salamandra: Rozwiąże około 21, chwilowo pracuję i tylko zerkam od czasu do czasu

Szkolniak:

	5±√5
Rozwiązane i wyszlo że dla x=		przyjmowana jest wartość najmniejsza równa 4, ale to
	2

za pomocą pochodnych i równania wielomianowego. Zaraz pomyślę nad twoja wskazówką Mila

Szkolniak: Ok, zrobione kluczowa była wskazówka wredulusa

f123: @Mila juz chyba mam dosyc matematyki na dzisiaj

Eta:

Szkolniak: To drugie coś nie idzie próbowałem coś z kwadratu sumy lub kwadratu różnicy, ale nic mi nie wychodzi

Szkolniak: Mam na myśli drugie zadanie Ety − a w Twoim Mila posegregowałem jedynki z jedynkami, trójki z trójkami i czwórki z czwórkami, w ten sposób powstało mi coś, czym się powtarza 'x²−5x', ale się zatrzymałem na tym

salamandra: U{3(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)+x(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)+4x(x−1)(x−3)(x−4)(x−5)+4x (x−1)(x−2)(x−4)(x−5)+x(x−1)(x−2)(x−3)(x−5)+3x(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)}{x(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)} niech (x−1)(x−2)(x−3)=t niech (x−4)(x−5)=m

3tm+x(x−2)(x−3)m+4x(x−1)(x−3)m+4x(x−1)(x−2)m+xt(x−5)+3xt(x−4)
xtm

na razie tyle wyślę, musiałem to na razie tak zapisać, bo forum nie czytało tego nawet jako ułamka, bo był taki długi, jak widać wyżej

wredulus_pospolitus: Szkolniak −−−− co do zadania 1 i propozycji Milusiej .... postaraj się zapisać w postaci (a−b) oraz (a+b) te dwa nawiasy na których się zatrzymałeś

salamandra: Nie wiem czy w ogóle dobrze próbuję

Mila: x²−5x=t i do przodu

Mila: salamandra nie idź tą drogą. Przeczytaj 20:40.

salamandra:

1		1		3		3		4		4
	+		+		+		+		+		, o to chodzi, żeby tak ustawić i
x−1		x−4		x		x−5		x−2		x−3

kombinować?

Mila: Tak. Parami sprowadź do wspólnego mianownika. Najpierw założenia.

salamandra: D: R \ {0,1,2,3,4,5}

(x−4)+(x−1)		3(x−5)+3x		4(x−3)+4(x−2)
	+		+		=
(x−1)(x−4)		x(x−5)		(x−2)(x−3)

	2x−5		3(2x−5)		4(2x−5)
=		+		+
	(x−1)(x−4)		x(x−5)		(x−2)(x−3)

t=2x−5 wstawiać i sprowadzać do wspólnego?

Eta: Wyłącz (2x+5) przed te ułamki i dalej jak podpowiada Mila

Patryk: Wykaż,że liczba : 2020²+(2020*2019)²+2021² jest kwadratem liczby naturalnej <−−−−−− próbowałem to rozpisać, męczyłem się 15 min i wciąż nic, na maturze od razu zostawił bym "takie" zadanie

salamandra: w jaki sposób mam je wyłączyć, skoro jeszcze nie mam sprowadzone do wspólnego mianownika?

Mila:

	1		3
(2x−5)*[		+		+...]=..
	x2−5x+5		x2−5x

salamandra: no przecież!

	1		3		4
(2x−5)*[		+		+		]
	x2−5x+5		x2−5x		x2−5x+6

t=x²−5x t≠0 i t≠ 5 t≠−5, t≠−6

	1		3		4
(2x−5)*[		+		+		]=
	t+5		t		t+6

	1*t*(t+6)		3(t+5)(t+6)		4t(t+5)
(2x−5)*[		+		+		=
	t(t+5)(t+6)		t(t+5)(t+6)		t(t+5)(t+6)

	t2+6t+3t2+33t+90+4t2+20t		8t2+59t+90
=(2x−5)*[		=(2x−5)*[		]
	t(t+5)(t+6)		t(t+5)(t+6)

	8t2+59t+90
(2x−5)*[		]=0
	t(t+5)(t+6)

	5
x=		v 8t2+59t+90=0
	2

i tu wychodzi coś bardzo brzydkiego, gdzie popełniłem błąd?

Eta: Nie ma "brzydkich" liczb , tak jak i "brzydkich" kobiet

salamandra: z drugim się zgodzę, ale z tym pierwszym jestem gotów na polemikę

Eta: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%283%2Fx%29%2B%281%2F%28x-1%29%29%2B%284%2F%28x-2%29%29%2B%284%2F%28x-3%29%29%2B%281%2F%28x-4%29%29%2B%283%2F%28x-5%29%29%3D0

salamandra:

Eta: Idź na dobrą herbatkę ( bo ja właśnie idę

AHQ: To ja dorzucę jeszcze coś od siebie (może być już na jutro) Rozwiąż równanie :

1		1		1		1
	+		+		+		=1
(x+5)(x+6)		(x+6)(x+7)		(x+7)(x+8)		(x+8)(x+9)

Mila: Tam się pomyliłam, nie ten klawisz wcisnęłam. (x−1)*(x−4)=x²−5x+4

	1
Więc masz ułamek
	t+4

równanie :

3		1		4
	+		+		=0
t		(t+4)		(t+6)

salamandra: Już za dużo herbat dzisiaj wypiłem Eta

Mila: Herbatki były z prądem?

salamandra: Wczoraj była z prądem, z wredulusem ponad 5h na wysokich obrotach było prawdopodobieństwo obalane

Patryk: Ja preferuję wodę

salamandra:

	3		1		4
(2x−5)*[		+		+		]=0
	t		t+4		t+6

	5		3(t+4)(t+6)+t(t+6)+4t(t+4)
x=		v		=0
	2		t(t+4)(t+6)

	3t2+30t+72+t2+6t+4t2+16t
		=0
	t(t+4)(t+6)

t≠{0,−4,−6}

	3t2+30t+72+t2+6t+4t2+16t
		=0 ⇔
	t(t+4)(t+6)

⇔3t²+30t+72+t²+6t+4t²+16t=0 8t²+52t+72=0/ : 4 2t²+13t+18=0

	9
t=−2 v t= −
	2

	5		3		9		1
x=		v −2=2x−5 ⇒ x=		v −		=2x−5 ⇒ x=
	2		2		2		4

Eta: @AHQ

1		1		1
	=		−
(x+5)(x+6)		x+5		x+6

...............

AHQ: @Eta Znam rozwiązanie − dałem tylko tutaj kolegom podobne zadanko do poprzednich

AHQ: Ale jasne, należy rozłożyć na ułamki proste bądź zauważyć taką zależność Co ciekawe − zadanie pochodzi z finału jakiegoś konkursu maturalnego.

salamandra: to w końcu ja mam dobry wynik czy Wolfram? ?

Mila:

	9
t=−2 i t=−		zgadza się
	2

x²−5x=t⇔

	9
x2−5x=−2 lub x2−5x=−
	2

Zmęczony jesteś i błednie wykorzystałeś wartości t.

salamandra: Nie wiem czemu to wstawiłem do 2x−5 .......

Mila: AHQ, podobne zadanie było w zadaniach "Diamentowy indeks" i kiedyś na maturze.

Mila: Dobranoc Miło się pracowało z ambitnymi maturzystami i nie tylko

AHQ: Masz na myśli tę olimpiadę ?

salamandra: Dobranoc