Wykaż, że mielton: Wykaż, że jeśli a>0, b>0 to: (a²+b²−2ab)/(a²+b²+2ab)≥1/3

jc: Coś jest źle. a=2, b=1, ułamek = 1/9

mielton:

a2+b2−2ab
	≥13
a2+b2+2ab

f123: @jc dokladnie, nawet udowadniajac to na zmiennych a i b to nie wychodzi

mielton: Wiem, dostaje końcową formę a²−4ab+b² ≥ 0 czyli w najlepszym wypadku (a−b)²−2ab≥0

PW: Może będzie łatwiej, gdy założymy, że b≥a (nie zmienia to treści zadania) podstawimy b = ka, k ≥ 1 a²+k²a²−2ka² = a²(k²−2k+1) = a²(k−1)² a²+k²a²+2ka² = a²(k²+2k+1) = a²(k+1)² Badana nierówność przyjmuje postać

	k−1		1
(		)2 ≥		, k > 1.
	k+1		3

PW: Powinno być k≥1. Podstawienie k = 1 pokazuje, że nie równość jest fałszywa. Ale badając funkcję

	k−1
(		)2
	k+1

może uda się porawić tezę.

f123: @PW ale nawet podstawiajac sobie do wyjsciowej nierownosci a = 2, b = 1 tak jak zrobic @jc to ta nierownosc jest falszywa, czli blad jest albo w tresci zadania, albo przyklad zle przepisany

PW: Dziękuję, nareszcie zrozumiałem.

Eta: Myślę,że taka jest ta nierówność:

a2−ab+b2
	≥1/3
a2+ab+b2

Eta: 2(a−b)²≥0 2a²−4ab+2b²≥0 ⇒ 3a²−3ab+3b²≥a²+ab+b² \ : (a²+ab+b²)

3(a2−ab+b2)
	≥1
a2+ab+b2

i mamy tezę

a2−ab+b2		1
	≥
a2+ab+b2		3

PW: Eta, jestem pod wrażeniem. To już jest mistrzostwo Polski (coś w rodzaju znanego z lekcji polskiego "co poeta miał na myśli").

Eta: