Liczby zespolone AHQ: Udowodnić, że |x₁|−|x₂| ≤ |x₁−x₂| ≤ |x₁| + |x₂| x₁. x₂ ∊ℂ Wybrałem najprostszy przykład jaki dostałem do zrobienia − wytłumaczy ktoś jak rozwiązuje się takie proste nierówności na liczbach zespolonych ?

Des: x₁ = x₁ + y₁i x₂ = x₂ + y₂i Pierwsza część: |x₁|−|x₂| ≤ |x₁−x₂| Korzystamy z definicji modułu: (x₁²+y₁²)^1₂ − (x₂²+y₂²)^1₂ ≤ [ (x₁−x₂)²+(y₁−y₂)² ]^1₂ /² x₁²+y₁²+y₁²+y₂² −2[(x₁²+y₁²)(x₁²+y₂²)]^1₂ ≤ (x₁−x₂)²+(y₁−y₂)² −2[(x₁²+y₁²)(x₁²+y₂²)]^1₂ ≤ −2x₁x₂ −2y₁y₂ [(x₁²+y₁²)(x₁²+y₂²)]^1₂ ≥ x₁x₂ +y₁y₂ /² (x₁²+y₁²)(x₁²+y₂²) ≥ x₁²x₂²+2x₁x₂y₁y₂ +y₁²y₂² x₁²y₂²+x₂²y₁² ≥ 2x₁x₂y₁y₂ (x₁y₂ − x₂y₁)² ≥ 0 Drugie analogicznie

AHQ: Skąd wzięła się linijka zaraz po ,,Korzystamy z definicji modułu:''

Des: Lewa strona chyba jasna? |x₁−x₂| = |x₁ + y₁i − x₂ − y₂i| = |(x₁ − x₂) + (y₁ − y₂)i| = = [ (x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)² ]^1₂

Des: Oj, trochę namieszałem w indeksach Mam nadzieje, że się połapiesz, w których miejscach

Adamm: |x+y| ≤ |x|+|y| |x+y|² ≤ |x|²+2|x||y|+|y|² |x+y|² = <x+y, x+y> = <x, x>+<x, y>+<y, x>+<y, y> = |x|²+2Re(xy^*)+|y|² Wystarczy zatem udowodnić Re(xy^*) ≤ |x||y|. (1) 0 ≤ <x+ry, x+ry> = r²|y|²+2rRe(xy^*)+|x|² Dla y = 0 nierówność (1) jest oczywista. W przeciwnym wypadku Δ = 4(Re(xy^*))² − 4|x|²|y|² ≤ 0.

AHQ: Dzięki, pozapominałem o podstawowych własnościach...