Oblicz równanie w dziedzinie liczb zespolonych Paweł: z⁴−2z²+4=0

Andrzej: zapisz jako (z⁴+4z²+4) − 6z² i rozłóż na czynniki

tim: Albo: t = z² t² − 2t + 4 = 0 −−− równanie kwadratowe

Paweł: tak panowie wiem tak robie ale dalej nie wiem jak to zrobić z pierwistki z liczb zespolonych

Sabin: No to jedziemy. t = z² t² − 2t + 4 = 0 Δ = 4 − 16 = −12, √Δ = √−12 = 2i√3

	2 + 2i√3		2 − 2i√3
t1 =		= 1 + i√3, t2 =		= 1 − i√3
	2		2

Z t₁: z² = 1 + i√3 Oznaczmy liczbę zespoloną z prawej strony jako x. Zapiszmy x w postaci trygonometrycznej, czyli x = |x|(cosφ + isinφ) Rex = 1, Imx = √3, |x| = √1² + 3 = 2 cosφ = ¹₂, sinφ = ^√3₂}, stąd φ = ^π₃ x = 2(cos^π₃ + isin^π₃) jest takie twierdzenie, które mówi, że równanie postaci zⁿ = x ma n rozwiązań postaci: x_k = ⁿ√|x|(cos^{φ + 2kπ}_n + isin^{φ + 2kπ}_n), dla k = 0, ..., n−1 stąd: z₀ = √2(cos^π₆ + isin^π₆) z₁ = √2(cos¹³₁₂π + isin¹³₁₂π) analogicznie robisz dla t₂, czyli z² = 1 − i√3

Paweł: Dzieki wielkie o to własnie mi chodziło

Sabin: Tfu, tam na końcu oczywiście nie z₀ i z₁, tylko x₀ i x₁

Dziarskihenk: Zadanie spoko rozwiązane ale pierwiastków równania 2 stopnia nie liczymy postacią geometryczną , no chyba że lubimy nie wyrobić się na kolokwium. Dojeżdżamy do tego momentu z²=1+√3i i podstawiamy (x+y)²=1+√3i robimy 3 równania porównując części rzeczywiste po obu stronach , części urojone i moduły. I powinny wyjść 2 rozwiązania dla przyjętego t1 , analogicznie podstawiamy t2 i 2 kolejne rozwiązania. Pamiętamy że rozwiązaniem jest para liczb x i y . Wyniki często różnią się znakami co pomaga połapać się czy nigdzie nie daliśmy błędu. Tzn. rozwiązania zazwyczaj wyglądają tak 1) x+y 2)x−y 3)−x+y 4)−x−y . (Stopień równania = liczbie rozwiązań).

daras: a dlaczego nie to szybsza metoda niż zabawa z trzema równaniami ale każdy robi jak uważa byle

	π		π
rozwiązał dobrze: x1 = −√2(cos		+ isin		)
	6		6