podzielność Karolina: Jak udowodnić że, 5k(k+1)(k²+k+1) jest podzielne przez 30?

Karolina: *k należy do naturalnych bez 0

f123: 5k(k+1)(k² − 1 + k + 1 + 1) = 5k(k +1)(k − 1)(k + 1)(k + 2) = 5k(k − 1)(k + 1)²(k + 2)

f123: soryy miss lick, zle rozwiazalem

f123: 5k(k + 1)(k² − 1 + k + 2) = 5k(k + 1)[(k − 1)(k + 1) + (k + 2)]) = = 5k(k + 1)²(k − 1) + 5k(k + 1)(k + 2) − i wyciagnij z tego wniosek

wredulus_pospolitus: Inne podejście: 5k(k+1) <−−− liczba ta jest podzielna przez 5 oraz 2 ... więc jest podzielne przez 2*5 = 10 oznaczmy: x = 5k*(k+1)*(k²+k+1) jeżeli k = 3m + 0 ... wtedy k podzielne przez 3, więc x podzielne przez 3 jeżeli k = 3m + 2 .... wtedy k+1 = 3m + 3 = 3(m+1) czyli jest podzielne przez 3, więc x podzielne przez 3 jeżeli k = 3m + 1 to: k² +k + 1 = (3m+1)² + (3m+1) + 1 = 9m² + 6m + 1 + 3m + 1 + 1 = 3(3m² + 3m + 1) <−−− czyli podzielne przez 3 , więc x podzielne przez 3

f123: @wredulus_pospolitus ciekawe podejscie

a7: w tym iloczynie mamy 5 oraz dwie kolejne liczby k oraz k+1 dla k=1 iloczyn jest równy 30 więc jest podzielny, dla k>1 każde dwie kolejne liczby jedna jest parzysta(podzielna przez dwa) druga podzielna przez trzy czyli mamy liczbę podzielną przez 5 razy liczba podzielna przez dwa razy liczba podzielna przez trzy czyli iloczyn jest podzielny przez 5*2*3 =30

ite: proponuję tak zapisać: 5k(k+1)(k²+k+1)=5k(k+1)(k²+4k−3k+4−3)= =5k(k+1)[(k+2)²−3k−3)]=5k(k+1)[(k+2)²−3(k=1)] jeżeli ani k ani (k+1) nie są wielokrotnościami trzech, to taką wielokrotnością jest (k+2), a wtedy wyrażenie [(k+2)²−3(k+1)] jest podzielne przez 3

ite: a7nie dla każdych dwóch kolejnych liczb jest prawdą, że jedna jest parzysta a druga podzielna przez trzy. Np. 4,5 lub 7,8

a7: faktycznie