Pochodna
Pochodnik: Hej,mam problem ze znalezieniem ekstremów funkcji:
Obliczyłem pochodną:
Mam problem z przyrównanie do zera −otrzymuję wielomian szóstego stopnia, który nie wygląda jak
sprawa łatwa do pogrupowania
4x
6+36x
5+81x
4 = 4x
3+36x
2+108x+108
4x
5(x+9) = 4x
2(x+9) + 9(12(x+1)−9x
4)
Rozważałem analizowanie tylko części bez −1, która iznaczałaby funkcję malejąca dla x<−4,5 i
rosnącą dla x>4,5, jednak brakuje mi pomysłów. Prosiłbym o pomoc, utknąłem
24 mar 13:06
wredulus_pospolitus:
źle utworzony wielomian
24 mar 13:27
wredulus_pospolitus:
x2(2x+9) | |
| = √x3/(x+3) (x ∉ <−3 ; 0)) |
2(x+3)2 | |
| x3 | |
x4(2x+9)2 = |
| *4(x+3)4 |
| x+3 | |
// UWAGA
Prawa = 4*x
3*(x+3)
3 //
4x
6 + 36x
5 + 81x
4 = 4x
6 + 36x
5 + 108x
4 + 108x
3
24 mar 13:36
Pochodnik: Dzięęęęęki wielkie!
27x
3(x−4)=0
x=0 v x=4
Funkcja maleje w (−
∞, 0) i (4,
∞), rośnie w (0, 4). Maksimum lokalne w 4
| 8√7 − 3 | |
(sup funkcji = |
| ), minimum w 0 (infimum funkcji = 1), dziedzina funkcji i jej |
| 7 | |
pochodnej to x∊(−3,
∞)
Prawidłowo?
24 mar 14:09
wredulus_pospolitus:
yyyy .... nie
BAAARDZO źle
1) funkcja f(x) NIE JEST określona na przedziale <−3 ; 0) więc nie może być na tym
przedziale malejąca
2) 4x
6 + 36x
5 + 81x
4 = 4x
6 + 36x
5 + 108x
4 + 108x
3 ⇔
⇔ 0 = 27x
4 + 108x
3 ⇔ 27x
3(x
+ 4)
24 mar 14:15
Pochodnik: Dzięki jeszcze większe
Czyli funkcja posiada ekstremum (minimum) w 0 (inf = 1) oraz maksimum w −4 (sup = 5), dziedzinę
pochodnej oraz funkcji właściwej stanowią R\<−3, 0)?
Rosnąca w (−
∞, −4) i (0,
∞), malejąca w przedziale (−4, −3)?
24 mar 15:00
wredulus_pospolitus:
yyyyy .... nie
zauważ, że
a) dla x < 0 mamy:
1 − x +√x3/(x+3) > √x3/(x+3)
limx−> −∞ f(x) = +∞
b) f(0) = 1
c) limx−> +∞ f(x) < 1 (ponieważ √x3/(x+3) < √x3/x = √x2 = x dla x>0)
więc:
I. funkcja nie może rosnąc 'w −∞' ... musi maleć
II funkcja nie może (tylko) rosnąc dla x > 0 , bo f(0) > limx−> +∞ f(x)
24 mar 15:10
wredulus_pospolitus:
Teraz przez moment spójrz na obliczenia i zobacz w którym momencie zrobiliśmy 'coś' co
potencjalnie "psuje" nierówność (monotoniczność), a przy równości (określenie ekstremum) nie
ma tworzy problemów.
24 mar 15:12
Pochodnik: Przedstawiam swoje wyobrażenie sytuacji
−4 0
\ /
+\___ /+______
\__−___ /
Przepraszam, nie potrafię rysować na forum wykresów. Załóż, że widzisz parabolę − minus pod
wykresem.Gdzie popełniam błąd, jeżeli błędnie oceniam przedział monotoniczności?
Rozumiem Twoje wyjaśnienie, bardzo dziękuję.
Moi potencjalni ,,psujcy" monotoniczności to równania a lub oszacowanie c, chociaż a
przedstawia się jako łatwo ,,skreślajne", jednak c sprawia wrażenie niedokładnego kroku.
Mógłbyś podsumować monotoniczność? Zaczynam gubić się...
24 mar 15:31
wredulus_pospolitus:
Zauważ, że przy wyznaczaniu ekstrem w pewnym monecie PODNOSIMY DO KWADRATU
Co przy ekstremum jest bez znaczenia (o ile pamiętamy o dziedzinie), ale już przy
monotoniczności, gdzie mamy nierówność powoduje to pewne 'komplikacje'
a konkretniej zauważ, że mieliśmy:
x2(2x+9) | |
| ... √x3/(x+3) |
2(x+3)2 | |
Prawa strona jest zawsze dodatnia ... ale Lewa
Już nie koniecznie (dla 2x+9 <0 mamy Lewą <
0)
24 mar 15:39
Pochodnik: Czy poprawnie wyliczyłem ekstremum i infimum?
Jak poradzić sobie z monotonicznością w przypadku przedstawionych przez Ciebie problemów?
Rozumiem przedstawione przez Ciebie spostrzeżenia, jednak zaczynam motać się. Byłbym bardzo
wdzięczny za pomoc.
24 mar 16:06
Pochodnik: ?
24 mar 20:04
24 mar 20:09
Pochodnik: Czyli funkcja osiąga lokalne minimum w −4, lokalne maksimum w 0. Co jednak z monotonicznością i
sup, inf?
24 mar 20:38
wredulus_pospolitus:
w x = 0 osiąga MINIMUM lokalne
już to przerabialiśmy:
f(0) = 1
lim
x−> +∞ f(x) < 1
24 mar 20:46
wredulus_pospolitus:
tfu ... maksimum lokalne
już przestaję myśleć
24 mar 20:54
wredulus_pospolitus:
sup −−− patrz granice na krańcach + wartość w maksimum + granice w punktach nieciągłości
inf −−− analogicznie
a co do monotoniczności −−− na podstawie granic w krańcach + wyznaczonych ekstremach jesteś w
stanie podać monotoniczność funkcji f(x)
Malejąca w (−∞ ; −4) oraz w (0 ; +∞)
rosnąca w (−4 ; −3)
pozostaje obliczyć dokładną wartość granicy w +∞
24 mar 20:57