Wyznacz wartość całki objętościowej vezro: Wyznacz wartość całki objętościowej ∭_Ω(x+yz) dxdydz Ω={(x,y,z)∊R³; 0 ≤ z ≤ x² + y², |x| < 1, |y| < 1}

jc: Objętość jest skończona. Obszar odpowiednio symetryczny. Funkcja nieparzysta. Całka = 0.

vezro: Zero też mi wyszło, ale nie byłem pewien co do wyniku. A jak wygląda to w przypadku ∭_Ω(xy+z) dxdydz Ω={(x,y,z)∊R³: 0 ≤ z ≤ |x + y|, |x| < 1, |y| < 1}?

	28
Czy wynik tej całki jest równy		?
	15

jc: Całka =2∫₋₁¹ dx ∫_−x¹ dy ∫₀^x+y (xy+z)dz =2∫₋₁¹ dx ∫_−x¹ [xyz+z²/2]₀^x+y dy =∫₋₁¹ dx ∫_−x¹ [2xy(x+y)+(x+y)²] dy = ... = 4/3 ale może coś mylę.

vezro: Obszar całkowania rozbiłem na obszary Ω₁ = {(x,y,z)∊R³: −1 < x < 1, −1 < y < −x, 0 < z < − x − y}, Ω₂ = {(x,y,z)∊R³: −1 < x < 1, −x < y < 1, 0 < z < x + y}. Całkowałem

	14
∫−11∫−1−x∫0−x−y(xy+z) dzdydx = ... =
	15

	14
∫−11∫−x1∫0x+y(xy+z) dzdydx = ... =
	15

Czy ogólna metoda postępowania jest okej?

jc: Tak samo liczymy. Skąd ma 5 w mianowniku?

vezro:

	z2
∫−11∫−x1∫0x+y(xy+z) dzdydx = ∫−11∫−x1 [xyz+		]0x+y dydx =
	2

	(x+y)2
= ∫−11∫−x1 [xy(x+y)+		] dydx =
	2

	1		1
= ∫−11∫−x1 [x2y + xy2 +		x2 + xy +		y2] dydx =
	2		2

	y2x2		xy3		xy2		x2y		y3
= ∫−11 [		+		+		+		+		]−x1 dx =
	2		3		2		2		6

	x4		x3		5x		1
= ∫−11 [−		+		+ x2 +		+		] dx =
	6		6		6		6

x5

x4

x3

5x2

x

14

= [−

+

+

+

+

]−11 =

30

24

3

12

6

15