dowód algebraiczny salamandra: Udowodnij, że dla różnych liczb rzeczywistych x,y, prawdziwa jest nierówność: x²y²+2x²+2y²−8xy+4>0 Przekształcam równoważnie x²y²+2x²+2y²−4xy−4xy+4>0 x²y²−4xy+4+2x²−4xy+2y²>0 (xy−2)²+(√2x−√2y)²>0 kwadrat dowolnego wyrażenia jest większy/równy zeru, więc nierówność ta jest spełniona dla każdego x,y∊R. Pierwszy nawias nie może się równać zeru, ponieważ wartosci x i y mają być różne, więc na pewno ta nierówność nie będzie równa zeru. Jest ok? I jak musiałbym to "rozegrać" jeśli skorzystałbym ze sposobu, który widziałem, że PW wielokrotnie tu przedstawiał, czyli np. y=xp gdzie p>0?

wredulus_pospolitus: jest ok

Saizou : po podstawieniu masz funkcję kwadratową z parametrem p. (popraw parametr, bo p∊R\{0}) Musisz pokazać, że przyjmuje ona wartości dodatnie dla dowolnego p

salamandra: Pamiętam, że PW zawsze pisał p>0, dlatego napisałem >0

Saizou : tak, ale zauważ, że gdyby było takie założenie, to x i y byłby tego samego znaku, a wcale tak być nie musi

salamandra: no tak, racja, pewnie były po prostu treści, że są to dodatnie x,y

PW: Najpierw (oczywiste, ale trzeba napisać) nierówność jest spełniona gdy x = 0 lub y = 0. Można dalej zacząć od spostrzeżenia, że jeśli x i y są różnych znaków, to −8xy > 0 i nierówność jest oczywista (po lewej stronie wszystkie składniki dodatnie). Rozpatrujemy więc x i y tego samego znaku, a zatem można podstawić y = px, p>0

salamandra: x²*p²x²+2x²+2p²x²−8x*px+4>0 p²x⁴+2x²+2p²x²−8px²>−4 do tego momentu ok?

PW: Tak. Wygląda na to, że mamy nierówność "dwukwadratową" z parametrem p (niepotrzebnie przenosiłeś czwórkę na drugą stronę).

salamandra: chciałem teraz za x⁴ podstawić jakieś "t", ma to sens?

salamandra: za x² oczwyiście

PW: Tak.

salamandra: x²=t t>0 p²t²+2t+2p²t−8pt+4>0 (pt−2)²+2t−4pt+2p²t>0 nie mogę tego wykombinować

PW: Można np. udowodnić, że (*) p²t² + 2t + 2p²t + 4 > 8pt Lewa strona na mocy nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną jest większa lub równa 4⁴√4p²t2t2p²t = 4⁴√16p⁴t⁴ = 8pt (wykorzystaliśmy założenia p>0 i t>0). Równość miałaby miejsce, gdyby wszystkie składniki były równe, co nie jest prawdą, gdyż musiałoby być m.in. 2t = 2p²t, co oznaczałoby p = 1 wbrew założeniu, że x i y są różne. Wobec tego nierówność (*) jest prawdziwa. Trzeba powiedzieć, że tym razem metoda podstawiania y = px raczej skomplikowała rozwiązanie, a Twoje pierwsze było pewnie najlepsze z możliwych.

salamandra: Nie znam niestety średniej geometrycznej, ale dziękuję za sprecyzowanie