Twierdzenie o różniczkowaniu lub całkowaniu szeregów tomek: Wykorzystując twierdzenia o różniczkowaniu lub całkowaniu szeregów pokazać, że dla każdego x ∈ (−1, 1) prawdziwe są równości: ∑(od n=1 do nieskończoności) nxⁿ = ^X_(1−x)² (w liczniku jest sam "x") Potrzebuję pełnego wyjaśnienia jak to zrobić żeby samemu rozwiązać resztę przykładów

jc:

	1		x
x + 2x2+ 3x3 + ... = x (x + x2 + x3+...)'=x(		)' =
	1−x		(1−x)2

Adamm: łatwiej zobaczyć, gdy napisze się x(1+x+x²+...)' zamiast x(x+x²+...)'

tomek: Dlaczego w drugiej równości nie jest x(1+2x+3x²+...)? Dlaczego pomijane są współczynniki?

Adamm: (1+x+x²+...)' = 1+2x+3x²+... zauważ, że mamy tam '

PW:

	1		0(1−x) − 1(1−x)'		1
(		)' =		=		, ale
	1−x		(1 − x)2		(1 − x)2

1
	= (wzór na sumę szeregu geometrycznego o ilorazie x, |x|<1) = ∑xn, a więc
1 − x

	1		1
(		)' = ∑nxn−1 =		.
	1−x		(1 − x)2

Pomnożenie ostatniej równości przez x daje

	x
∑nxn =
	(1 − x)2

tomek: Okej, następny przykład mi nie wychodzi, ∑(od n=1 do niesk.)n(n+1)xⁿ=^2x_(1−x)³ dla n=1 → 2x dla n=2 → 6x² L=2x+6x²+12x³+...=2x(1+3x+6x²+...)=2x(x+³₂x²+...)'=(2x) ^x_{(1−3/2 x)}' no i dalej nie wychodzi. W dodatku mianownik ma być do trzeciej potęgi