ciąg zbieżny Patryk: Wyznacz x dla których ciąg jest zbieżny: 1, x, x², x³ .... Dlaczego w odpowiedziach mam napisane, że trzeba dać założenie x>−1 i x ≤1 zamiast x>−1 i x <1? Przecież normalnie robi się załozenie |q| < 1

wredulus_pospolitus: bo dla x = 1 masz ciąg stały 1, 1, 1, 1, 1, ..... a ciąg stały jest ... zbieżny

Patryk: To znaczy, że zawsze gdy mam takie czy też podobne zadanie i pierwszy wyraz ciągu a₁ = 1 to wtedy zamiast x<1 muszę dać założenie x ≤ 1?

wredulus_pospolitus: Zauważ, że masz tutaj ciąg geometryczny. Jeżeli istnieje suma nieskończonego ciągu geometrycznego, to znaczy że ciąg jest zbieżny. Jeżeli q = 1 to także ciąg jest zbieżny (mimo że nieskończonej sumy nie ma) W pozostałych przypadkach, ciąg jest rozbieżny.

wredulus_pospolitus: nie tyle a₁ jest istotne co q

Patryk: Ok, a gdyby był ciąg x, x², x³..... to założenie będzie x<1 czy x ≤ 1?

salamandra: x>−1 i x<1

wredulus_pospolitus: jeżeli masz ciąg x , x² , x³ to q = x −−−> x ∊ ( − 1 ; 1 > (bo nadal dla x = 1 masz ciąg stały)

Patryk: To znaczy, że jeśli dla x = 1 −> q = 1 wtedy mam założenie x ≤ 1 a jeśli dla dla x = 1 −> q ≠1 to wtedy założenie jest x < 1 ?

wredulus_pospolitus: yyyyyyy co

Patryk: Mówiłeś, że ważne jest q. Jeśli dla x = 1 q będzie równe 1 wtedy jest założenie x ≤ 1?

salamandra: Jeżeli q=1 to x jest stały

PW: Panowie, po co tu jakieś 'q'? W zadaniu mowa o granicy ciągu, a nie o sumie szeregu.

wredulus_pospolitus: PW ... to są maturzyście ... ciąg jest ciągiem geometrycznym ... no to mówimy o 'q', aby łatwiej było maturzyście to zrozumieć

Patryk: Mógłby ostatecznie ktoś napisać od czego zależy jakie mamy to założenie? Żebym nie miał juz żadnych wątpliwości

PW: Przede wszystkim to nie jest założenie, lecz rozwiazanie. 1. etap rozwiązania: Zauważamy, że dla x = 1 mamy do czynienia z ciągiem stałym o wszystkich wyrazach równych 1, którego granica jest równa 1. 2. etap rozwiązania. Dla x > 1 mamy do czynienia z ciągiem rosnącym i nieograniczonym: dla dowolnej liczy dodatniej M istnieje taka liczba n₀, że dla k>n₀ x^k > M, bo nierówność ta jest równoważna nierówności log_x(x^k) > log_xM k > log_xM (liczbą n₀ jest [log_xM] − spełniona jest definicja ciągu rozbieżnego do +∞). 3. etap rozwiązamia. Dla x∊(−1, 1) granicą ciągu jest 0, gdyż dla dowolnej ε > 0 istnieje n₀, taka że dla k > n₀ |x^k − 0| < ε |x^k| < ε |x|^k < ε log_|x||x|^k < log_|x|ε k > log_|x|ε (zmiana nierówności na przeciwną, gdyż logarytm o podstawie mniejszej niż 1 jest funkcją malejącą). Liczbą n₀ jest [log_|x|ε] − spełniona jest definicja ciągu zbieżnego do 0. 4. etap rozwiązania. Jak łatwo zauważyć dla x = −1 badany ciąg ma dwa podciągi zbieżne do róznych dranic − podciąg o wyrazach parzystych zbieżny do +1 i podciąg o wyrazach nieparzystych zbieżny do −.1, a więc granica nie istnieje Dla x < −1 istnieją dwa podciągi rozbieżne − podciąg o wyrazach parzystych jest rozbieżny do +∞, a podciąg o wyrazavh nieparzystych − do −∞. Podsumowanie: Badany ciąg jest zbieżny dla x∊(−1, 1>. To raczej nie jest zadanie dla licealisty. Bez dowodów pokazanych wyżej można co najwyżej poopowiadać, na zasadzie "jak łatwo zauważyć" (co wcale łatwe nie jest, choć intuicyjnie oczywiste).

Eta: No i widzę,jedna strona ( podręcznika) już gotowa do druku bez recenzji

wredulus_pospolitus: PW −−− i właśnie dlatego poszedłem w tłumaczenie poprzez wartość różnicy −−− bo to jest na poziomie szkoły średniej i to maturzysta jest w stanie 'załapać' i sobie wytłumaczyć