Mógłby ktoś sprawdzić ? - funkcja tworząca AHQ: Mamy ciąg dany rekurencyjnie a_n+3=6a_n+2−11a_n+1+6a_n z warunkami początkowymi a₀=2, a₁=0, a₂=−2 i musimy znaleźć wzór jawny na a_n Użyję do tego funkcji tworzącej F(X)=∑_n=0a_nXⁿ Żeby nie pisać całości 10h −funkcja tworząca już po przekształceniach

22X2+12X
	na ułamki proste otrzymamy:
6X3−11X2+6X−1

17		29		46
	+		−		zatem:
X−1		3X−1		2X−1

17

29

46

46

29

17

F(X)=

+

−

=

−

−

X−1

3X−1

2X−1

1−2X

1−3X

1−X

Korzystając ze wzoru na szereg geometryczny mamy: ∑_n=0(2X)ⁿ−29∑_n=0(3X)ⁿ−17∑_n=0Xⁿ =∑_n=0(46*2ⁿ−29*3ⁿ−17)Xⁿ Zatem: a_n=46*2ⁿ−29*3ⁿ−17 Niestety jest to nieprawidłowy wynik. Proszę o podpowiedź jakichś mądrych ludzi, gdzie jest błąd

wredulus_pospolitus: równanie charakterystyczne: r³ = 6r² − 11r + 6 r³ − 6r² + 11r − 6 = 0 (r−1)(r² − 5r + 6) = 0 (r−1)(r−2)(r−3) = 0 a_n = A + B*2ⁿ + C*3ⁿ a₀ = A + B + C = 2 a₁ = A + 2B + 3C = 0 a₃ = A + 4B + 9C = −2 A = 5 ; B = −4 ; C = 1 a_n = 5 −2ⁿ⁺² + 3ⁿ Nie wiem gdzie dokładnie się machnąłeś ... może musisz jednak podać te 10h przekształceń

Mariusz: geniuś miała być funkcja tworząca (kiedyś on mnie obraził tym że nie zasługuje więcej niż na mierny więc trochę ironizuję z tym geniusiem) Chyba lepiej byłoby gdybyś poświęcił te "10h" na przepisanie wszystkiego wtedy łatwiej byłoby znaleźć twój błąd poza tym mnie całe rozwiązanie zajęło mniej niż 10h Błąd masz już na etapie wyznaczenia funkcji tworzącej To może podam swoje rozwiązanie z użyciem funkcji tworzącej a_n+3=6a_n+2−11a_n+1+6a_n a₀=2, a__{1}=0, a₂=−2 A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=0^∞a_n+3xⁿ⁺³=∑_n=0^∞6a_n+2xⁿ⁺³+∑_n=0^∞(−11a_n+1)xⁿ⁺³ +∑_n=0^∞6a_nxⁿ⁺³ ∑_n=0^∞a_n+3xⁿ⁺³=6x(∑_n=0^∞a_n+2xⁿ⁺²)−11x²(∑_n=0^∞a_n+1xⁿ⁺¹) +6x³(∑_n=0^∞a_nxⁿ) ∑_n=0^∞a_nxⁿ−2+2x² =6x(∑_n=0^∞a_nxⁿ−2)−11x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ−2) +6x³(∑_n=0^∞a_nxⁿ) A(x)−2+2x²=6xA(x)−12x−11x²A(x)+22x²+6x³A(x) A(x)(1−6x+11x²−6x³)=20x²−12x+2

	20x2−12x+2
A(x)=
	1−6x+11x2−6x3

W(1)=1−6+11−6=0 −6 11 −6 1 1 −6 5 −1 0 (1−6x+11x²−6x³)=(1−x)(1−5x+6x²) 1−5x+6x² Δ=25−4*1*6=1

	1
x2=
	3

	1
x3=
	2

(1−6x+11x²−6x³)=(1−x)(1−2x)(1−3x)

A		B		C		A(1−2x)(1−3x)+B(1−x)(1−3x)+C(1−x)(1−2x)
	+		+		=
1−x		1−2x		1−3x		(1−x)(1−2x)(1−3x)

A(1−2x)(1−3x)+B(1−x)(1−3x)+C(1−x)(1−2x) A(1−5x+6x²)+B(1−4x+3x²)+C(1−3x+2x²) (6A+3B+2C)x²+(−5A−4B−3C)+A+B+C Obliczamy macierz odwrotną do macierzy 6 3 2 −5 −4 −3 1 1 1 6 3 2 1 0 0 −5 −4 −3 0 1 0 1 1 1 0 0 1 6 3 2 1 0 0 −2 −1 0 0 1 3 1 1 1 0 0 1 4 1 0 1 0 −2 −2 −1 0 0 1 3 1 1 1 0 0 1 4 1 0 1 0 −2 2 1 0 0 −1 −3 1 1 1 0 0 1 4 1 0 1 0 −2 2 1 0 0 −1 −3 −1 0 1 0 1 4 2 0 0 1 1 1 2 1 0 0 −1 −3 −1 0 1 0 1 4 2 0 0 1 1 1 2 1 0 0 −1 −3 −2 0 2 0 2 8 2 0 0 1 1 1 2 1 0 0 −1 −3 0 0 2 1 3 9 2 0 0 1 1 1 0 1 0 −1 −2 −4 0 0 2 1 3 9 2 0 0 1 1 1 0 2 0 −2 −4 −8 0 0 2 1 3 9 (6A+3B+2C)x²+(−5A−4B−3C)+A+B+C=20x²−12x+2

	20		12		2
A=		−		+
	2		2		2

	40		48		16
B=−		+		−
	2		2		2

	20		36		18
C=		−		+
	2		2		2

A=5 B=−4 C=1

	5		−4		1
A(x)=		+		+
	1−x		1−2x		1−3x

A(x)=∑_n=0^∞5xⁿ−4(∑_n=0^∞2ⁿxⁿ)+∑_n=0^∞3ⁿxⁿ A(x)=∑_n=0^∞([5−4*2ⁿ+3ⁿ]xⁿ) a_n=5−4*2ⁿ+3ⁿ

AHQ: Dzięki koledzy, już widzę gdzie skopałem

wredulus_pospolitus: @Mariusz ponownie napiszę −−− zbadaj sobie główkę bo ma urojenia albo (i teraz Ciebie obrażę) zluzuj gacie bo Ci gumka od gaci dopływ krwi do mózgu blokuje

Mila: Funkcja tworząca:

1		6		11
	*[F(x)−a0−a1x−a2x2]=		*[F(x)−a0−a1x]−		*[F(x)−a0]+6*F(x) /*x3
x3		x2		x

i po skorzystaniu z war. początkowych mamy: F(x)−2+2x²=6x*F(x) −12x−11x²*F(x)+22x²+6x³*F(x) porządkowanie: F(x)*(1−6x+11x²−6x³)=20x²−12x+2

	20x2−12x+2
F(x)=
	−6x3+11x2−6x+1

	5		4		1
F(x)=		−		+
	1−x		1−2x		1−3x

a_n=5−4*2ⁿ+3ⁿ a_n=5−2ⁿ⁺²+3ⁿ =================