Szereg geometryczny - próba znalezienia błędu w długim rozwiązaniu Kamil: Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n) o wyrazach różnych od zera i wzorze a_n = (log¹_x)ⁿ. Znajdź taką liczbę x, dla której suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest o 2 mniejsza od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych. Próbowałem dwa razy rozwiązać to zadanie, ale widocznie za każdym podejściem robię gdzieś błąd. Oto moja próba rozwiązania zadania: q ≠ 0 i a₁ ≠ 0 2 + (a₁ + a₃ + a₅ + ...) = (a₂ + a₄ + a₆ + ...) Żeby uprościć powyższe równanie muszę obliczyć sumy dwóch szeregów geometrycznych. Aby istniała suma nieskończonego ciągu geometrycznego to szereg geometryczny musi być zbieżny. Będzie zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy q ∊ (−1, 1). Więc obliczam q. a₁ = log¹_x a₂ = log²¹_x q = log{1}{x} = a₁ Teraz wyznaczam dziedzinę. Mamy 2 szeregi geometryczne, ale jeden iloraz q, ponieważ nadal pierwszy szereg połączony z drugim to nieskończony ciąg geometryczny i ilorazie właśnie q. log¹_x > −1 i log¹_x < 1 1) log¹_x > −1: log¹_x > log¹₁₀ ¹_x > ¹₁₀ ^{10 − x}_10x > 0 10x(10 − x) > 0 x ∊ (0, 10) 2) log¹_x < 1: log¹_x < log10 ¹_x < 10 ¹_x − 10 < 0 ^{1 − 10x}_x < 0 x(1 − 10x) < 0 x ∊ (0, ¹₁₀) 3) log{1}{x} ≠ 0: ¹_x ≠ 10^{0 1}_x ≠ 1 x ≠ 1 D = x ∊ (0, ¹₁₀) Skoro wiem dla jakich x'ów oba szeregi są zbieżne to mogę liczyć ich sumę i upraszczać równanie. L = (2 + log¹_x) / (1 − log¹_x) = [2(1 − log¹_x) + log¹_x] / (1 − log¹_x) = (2 − 2log¹_x + log¹_x) / (1 − log¹_x) = (2 − log¹_x) / (1 − log¹_x) P = (log²¹_x) / (1 − log¹_x) (2 − log¹_x) / (1 − log¹_x) = log²¹_x / (1 − log¹_x) 2 − log¹_x = log²¹_x log²¹_x + log¹_x − 2 = 0 Wprowadziłem zmienną pomocniczą t: t = log¹_x, t ∊ (−1, 1) (bo q = log¹_x) t² + t − 2 = 0 Δ = 9 u{Δ} = 3 t1 = ⁻⁴₂ = −2 nie należy do (−1, 1) t2 = ²₂ = 1 nie należy do (−1, 1) Jak widać na końcu wyszło, że żadne miejsce zerowe nie należy do przedziału q. Wiem, że długi zapis, ale liczyłem to w zeszycie tak dokładnie, żeby nie popełnić błędu. Gdyby ktoś zobaczył błąd to byłbym wdzięczny za wytłumaczenie dlaczego wystąpił. Pozdrawiam!

Kamil: Oczywiście tam gdzie jest log{1}{x} powinno być log¹_x

Szkolniak: ja bym to rozwiązał w ten sposób:

	1
an=(log		)n
	x

	1
a1=q=log(		)=−logx
	x

q>−1 ∧ q<1 −logx>−1 ∧ −logx<1

	1
x<10 ∧ x>
	10

	1
x∊D=(		;10)
	10

	a1
a1+a3+a5+...=
	1−q2

	a1q
a2+a4+a6+...=
	1−q2

a1		a1q
	+2=
1−q2		1−q2

a₁+2−2q²=a₁q a₁−a₁q+2(1−q²)=0 a₁(1−q)+2(1−q)(1+q)=0 (1−q)(a₁+2+2q)=0 q=1 v a₁+2+2q=0 −logx=1 v log100−2logx=logx logx=−1 v log100−logx²=logx

	1		100
x=		∉D v		=x
	10		x2

x³=100 x=³√100∊D

Kamil: Dzięki!