Nierówność AHQ: Niestety takich mądrych rzeczy nie idzie (chyba zapisać normalnie) Oczywiście nierówność dla pewnych n,m∊N

PW: "Dla pewnych m, n" − to znaczy pokazać taki przykład? O co pytasz?

wredulus_pospolitus: pod hasłem n,m ∊ N oczywiście rozumiemy także n ≠ 0 i m ≠ 0 1) niech m = const.

	1
n1/m > 0 −−−−>		> 0
	n1/m

	1		1		1		1
limn−>∞		+		= [		+		] = 0 + 1 = 1
	n1/m		n√m		∞		1

2) niech m = n

1		1		2		2
	+		=		≤		= 2
m1/n		n1/m		m1/n		1

Wniosek i po sprawie

AHQ: A zwykłymi nierównościami pomiędzy średnimi dałoby się zrobić ?

AHQ: .? Bo raczej o to chodziło

Saizou : Da się n=n*1*1...*1. (m−1 jedynek) m=m*1*1...*1 (n−1 jedynek) Am ≥ Gm

n+m−1
	≥n1/m
m

m+n−1
	≥m1/n
n

	1
Nakładamy obustronnie funkcję f(x)=
	x

(zmieniamy znak nierówności, bo funkcja f jest malejąca dla x>0)

m		1
	≤
n+m−1		n1/m

n		1
	≤
n+m−1		m1/n

===========+

n+m		1		1
	≤		+
n+m−1		n1/m		m1/m

Ułamek po lewej stronie zmniejszymy, gdy zwiększymy mianownik

n+m		n+m
	≥		=1
n+m−1		n+m

Czyli mamy oszacowanie z dołu.

AHQ: @Saizou Mógłbyś wytłumaczyć co się dzieje w pierwszej części zadania ? To znaczy jeszcze przed nałożeniem funkcji, bo same dalsze przekształcenia rozumiem

Szkolniak:

	1		1
1≤		+		≤2 − pewnie że idzie zapisać
	n1m		m1n

Saizou : Zapisuje n jako iloczyn n i m−1 jedynek, aby łącznie mieć ich m, czyli n=n•1•1...•1 i stosuję nierówność między Am ≥ Gm (średnia geometryczna wprowadzi pierwiastek m−tego st.)

AHQ: Ok, już jasne. Domyślam się, że oszacowanie z góry należałoby zrobić poprzez zastosowanie Gm ≥ Hm ?

	m
n1m ≥
	1n+1m−1

	n
m1n ≥
	1m+1n−1

AHQ: Oj, jednak się pomyliłem Gm ≥ Hm

	m
n1m ≥
	1n+m−1

	n
m1n ≥
	1m+n−1

Dodając stronami, obracając i zmieniając znak mamy:

1		1		2+2nm−n−m		2−n−m
	+		≤		=2 +		≤ 2
n1m		m1n		nm		nm

Chyba teraz się nie machnąłem ?