Ciągłość funkcji dwóch zmiennych mcas: Zbadaj ciągłość funkcji f(x,y) danej wzorem

	⎧	(x+y, x>0, y∊R)
f(x,y)=	⎩	(√x2+y2, x≤0, y∊R)

Na pewno chcę zbadać ciągłość na prostej x=0, tylko nie wiem jak.

Adamm: Weźmy ciąg (x_n, y_n) → (0, y) ⇔ x_n→0, y_n→y Wtedy albo x_n≤0 dla nieskończenie wielu n, albo x_n>0 dla nieskończenie wielu n. W każdym razie, jeśli x_n≤0 tylko dla skończenie wielu n, to lim_n→∞ f(x_n, y_n) = lim_n→∞ x_n+y_n = y. Jeśli x_n>0 dla skończenie wielu n, to lim_n→∞ f(x_n, y_n) = lim_n→∞ √x_n²+y_n² = |y|. Teraz tutaj jest kłopot, otóż, |y| w ogólności jest różne od y. Weźmy np. y = −1, x_n = 1/n, y_n = −1.

	1
Wtedy limn→∞ f(xn, yn) = limn→∞		−1 = −1,
	n

ale f(0, −1) = 1.