ciągi snowflake: Ciągi (an) i (bn) , gdzie n ≥ 1 , są ciągami arytmetycznymi. Ciąg (cn ) jest określony wzorem cn = anbn , dla n ≥ 1 , a ciąg (dn) ciągiem różnic dwóch kolejnych wyrazów ciągu (cn) : dn = cn+ 1 − cn , dla n ≥ 1 . Wykaż, że ciąg (dn) jest ciągiem arytmetycznym, którego różnica jest równa podwojonemu iloczynowi różnic ciągów (an) i (bn) . Te 'n' są jako indeks dolny

Des: a_n = a₁ + (n−1)r_a b_n = b₁ + (n−1)r_b c_n = ( a₁ + (n−1)r_a )( b₁ + (n−1)r_b ) d_n = ( a₁ + nr_a )( b₁ + nr_b ) − ( a₁ + (n−1)r_a )( b₁ + (n−1)r_b ) d_n = a₁r_b(n−n+1) + b₁r_a(n−n+1) + r_ar_b(n²−n²+2n−1) d_n = a₁r_b + b₁r_a − r_ar_b + 2nr_ar_b r_d = d_n+1 − d_n = ... = 2r_ar_b

Adamm: a = a_n, b = b_n, x, y − różnica ciągu a_n, b_n odpowiednio d_n+1−d_n = c_n+2−2c_n+1+c_n = a_n+2b_n+2−2a_n+1b_n+1+a_nb_n = (a+2x)(b+2y)−2(a+x)(b+y)+ab = (ab+2ay+2bx+4xy)−(2ab+2ay+2bx+2xy)+ab = = 2xy