wielomiany MalWas: Znaleźć wielomiany f i g stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych takie że f ◯ g = 16x⁴ − 48x³ + 54x² − 27x + 2.

Szkolniak: f(x)=ax²+bx+c g(x)=dx²+ex+f f(g(x))=a(dx²+ex+f)²+b(dx²+ex+f)+c= =a(d²x⁴+e²x²+f²+2dex³+2dfx²+2efx)+bdx²+bex+bf+c= =ad²x⁴+ae²x²+af²+2adex³+2adfx²+2aefx+bdx²+bex+bf+c= =(ad²)x⁴+(2ade)x³+(ae²+2adf+bd)x²+(2aef+be)x+(af²+bf+c) ad²=16 i ade=−24 i ae²+2adf+bd=54 i 2aef+be=−27 i af²+bf+c=2 Cos takiego wymodziłem, może ktoś popchnie dalej rozwiązanie o ile dobry trop

Leszek: A czy to nie jest mnozenie wielomianow ? ? , czesto uczniowie pisza tresci z bledami !

Adamm: spróbujmy ad²=16 i ade=−24 i ae²+2adf+bd=54 i 2aef+be=−27 i af²+bf+c=2 z I i II równania a∊{1, 2, 4, 8} 1. a = 1 d = ±4, de = −24, e²+2df+bd=54 i 2ef+be=−27 i f²+bf+c=2 1.1. d = 4 e = −6, 8f+4b=18 i 2ef+be=−27 i f²+bf+c=2 sprzeczność z równania II, bo 4 nie dzieli 18 1.2 d = −4 tak samo jak dla 1.1 2. a = 2 lub a = 8 d² = 8 lub d² = 2, ale ani 2, ani 8 nie są kwadratami 3. a = 4 d = ±2 i de=−6 i 4e²+8df+bd=54 i 8ef+be=−27 i 4f²+bf+c=2 3.1 d = 2 e=−3 i 8f+b=9 i 4f²+bf+c=2 b = 9−8f, c=2+4f²−9f stąd f(x) = 4x²+(−8y+9)x+(4y²−9y+2), g(x) = 2x²−3x+y gdzie y∊Z to parametr

MalWas: Dlaczego a∊{1, 2, 4, 8} ? z pierwszego warunku mamy: dla a=1 mamy d=4 lub d=−4 dla a=2 mamy d=2√2 lub d=−2√2 dla a=4 mamy d=2 lub d=−2 dla a=8 mamy d=√2 lub d=−√2 Czyż jest tak, czy się mylę? a∊{1,4,16} − czy nie powinno być tak?

Adamm: a = 16 daje sprzeczność, bo 16 nie dzieli 24

jc: w=(8x⁴−12x+1)(2x²−3x+2), poprosiłem komputer o rozkład g=x²−3x f=(4y+1)(y+2) oczywiście do g można dodać dowolną liczbę np. g=x²−3x+2, f=4y²−7y (nie oznacza to, że nie ma innych rozwiązań)

MalWas: No tak, 16 nie dzieli 24. Czyli a∊{1,4} tak?

Adamm: Tak