wielomiany jednej zmiennej MalWas: Pokazać, że: 1 − ^x₁ + ^x(x−1)₂ − ... + (−1)^{n x(x−1)...(x−n+1)}_n! = = (−1)^{n (x−1)(x−2)...(x−n)}_n!

Bleee: Skorzystaj z indukcji matematycznej. Bardzo przyjemnie się to wtedy wykazuje

jc:

	x 0		x 1		x 2		x n
P(x)=		−		+		− ... +(−1)n		=0 dla x=1, 2, ..., n

P(x)=A(x−1)(x−2)...(x−n) Podstawiamy x=0.

	(−1)n		x−1 n
1=A(−1)n*n!, stąd A=		, czyli P(x)=(−1)n
	n!

MalWas: A coś więcej na ten temat? Kilka słów wyjaśnienia bo niekoniecznie rozumiem...

jc: P(n)=(1−1)ⁿ=0 P(x) jest więc wielomianem stopnia n, którego pierwiastkami są liczby 1,2,...,n Dlatego P(x)=A(x−1)(x−2)...(x−n). Należy jeszcze znaleźć A. Podstawiasz x=0. Dalej, jak wyżej.