optymalizacja salamandra: W jakim punkcie paraboli o równaniu y=x²−1 należy poprowadzić styczną, aby trójkąt ograniczony tą styczną i osiami układu współrzędnych miał najmniejsze pole? y=x²−1 P=(x,x²−1) f'(x)=2x Jakaś podpowiedź?

Patryk: Tak zapytam z ciekawości bo i tak pochodnych nie zacząłem, pochodne prostsze od prawdopodobieństwa i kombinatoryki?

salamandra: Zależy od osoby− dla mnie pochodne to była jedna z najprostszych rzeczy podczas edukacji w technikum

Patryk: A dla mnie kombinatoryka najtrudniejszą rzeczą w technikum

Patryk: A jak z optymalizacją, dajesz rade?

salamandra: Bywa ciężko, ale w większości schemat jest ten sam. Stereometria+optymalizacja to trochę kombinowania jest

Patryk: A te pochodne w tych zadaniach to wykorzystuje się tylko po to żeby wyznaczać te wartości min albo max?

salamandra: zazwyczaj tak, albo jak w tym przypadku− styczna do wykresu funkcji, generalnie do badania monotoniczności funkcji

wredulus_pospolitus: krok 1: Punkt styczności (to masz) krok 2: wyznaczenie równania stycznej w punkcie P (f(x)) krok 3: f(0) = a f(x) = 0 −−−> b = ... krok 4: Pole(x) = a*b = .... krok 5: Pole'(x) = ...

salamandra: No właśnie, jak wyznaczyć równanie tej stycznej jeśli nie znam punktu P? y=ax+b a=2x x²−1=2x*x+b x²−1=2x²+b b=−x²−1 y=2x*x−x²−1 = x²−1, czyli wróciłem de facto do paraboli

wredulus_pospolitus: równanie stycznej do wykresu g(x) = x²−1 w punkcie P(x_o, x_o² − 1) y − (x_o² −1) = 2x_o(x − x_o) y = 2x_o*x + (x_o² − x_o − 1) f(x) = 2x_o*x + (x_o² − x_o − 1) <−−− równanie stycznej (dla określonego punktu P, czyli dla określonego x_o)

wredulus_pospolitus: oczywiście źle podałem wyraz wolny na końcu ... to już sobie to popraw

salamandra: Gdzieś się pomyliłem? Co jakbyś się trzymał wersji y=ax+b?

salamandra: a, no właśnie, wiedziałem, że coś mi nie gra ale dlaczego piszesz x₀, a nie po prostu x?

salamandra: Z tego wynika jakby x₀ było czymś innym niż x, a przecież leży na paraboli również.

wredulus_pospolitus: bo punkt P ma współrzędne (x_o, x_o² − 1) Albo jak wolisz: krok 1: wybieramy punkt P (czyli wyznaczamy x = x_o) krok 2: Dla współrzędnych tego konkretnego punktu (czyli dla konkretnej wartości x_o) wyznaczamy styczną

wredulus_pospolitus: y = 2x_o*x − (x²_o+1) <−−− tak wygląda równanie stycznej

salamandra: Aha, a pisząc gołe x, to tak jakby operuję dalej zmienną?

wredulus_pospolitus: tak 'x' −−− zmienna 'y' −−− zmienna x_o −−− konkretna (bliżej nie określona − ale konkretna ) wartość zmiennej 'x'

salamandra: Chociaż w sumie nadal nie rozumiem, bo np. Dajmy na to jakieś zadanie z okręgiem i tam często stosujemy np. A(x, x²−1) i dlaczego tam już nie piszemy to x₀?

wredulus_pospolitus: żeby Ci się nie 'pojebało' ze zmienną 'x' występującą w równaniu prostej P(w,w²−1) styczna ma równanie y = 2w*x − (w² + 1) weźmy, punkt P(0,−1) y = 2*0*x − (0 + 1) −−−> y = −1 zgadza się weźmy punkt P(1, 0) y = 2*1*x − (1 + 1) −−−−> y = 2x − 2 także się zgadza weźmy punkt P(1/2 , −3/4) y = x − 5/4

wredulus_pospolitus: y i x są to zmienne reprezentujące współrzędne KAŻDEGO punktu na konkretnej prostej x_o (czy tam w) reprezentuje KTÓRĄ z tych stycznych bierzesz pod uwagę w danej chwili

salamandra: teraz jaśniej, dobra kombinuję dalej

salamandra: B=(0,0) C=f(0)=w²−1 A=(w,0) |AB|=w |BC|=w²−1

	1
P=w*(w2−1)*
	2

w3−w
	= P
2

f(x)=w³−w f'(x)=3w²−1 3w²−1=0 3w²=1

	1
w2=
	3

	√3		−√3
w=		v w=
	3		3

	√3
wmin dla w=
	3

	√3		2
P=(		, −		)?
	3		3

salamandra: f(w) oczywiście

wredulus_pospolitus: NIE czemu |AB| = w z jakiej racji już nawet na Twoim rysunku z 23:57 P(w, w² − 1) .... punkt A jest gdzieś w okolicach (3,0) ... więc co ... w = 3 nie ... w ≈ 1/3 (patrząc na rysunek) punkt C także źle wyznaczony ... f(0) = − (w² + 1)

wredulus_pospolitus: x = 0 −−−−> y = 0 −(w²+1) −−−> |a| = w² + 1 (|a| −−− długość boku na osi OY)

	w2+1		w2+1
y = 0 −−−−> 0 = 2wx − w2 − 1 −−−> x =		−−−> |b| =
	2w		2w

(|b| −−− długość na boku OX) sprawdzenie: w = 1/2 (czyli styczna dla punktu P(1/2, −3/4) y = x − 5/4 |a| = 1/4 + 1 = 5/4 oki

	1/4 + 1
|b| =		= 5/4 oki
	2*1/2

w = 3/4 <−−− sprawdź sam

salamandra:

	√3		−2		−√3		−2
W odpowiedzi jest P=		,		) lub P=		,		).
	3		3		3		3

Z tego co teraz napisałeś to kompletnie nic nie rozumiem. Fakt, C źle wyznaczyłem, powinno być 2w*0−(w²+1) = −w²−1

salamandra: I sam nie wiem skąd wziąłem że A=(w,0) XD

wredulus_pospolitus: No to popraw wyznaczenie: |AB| i |BC|

salamandra: "A" nie będzie miało współrzędnej po prostu miejsca zerowego tej stycznej?

wredulus_pospolitus: tak, dokładnie −−− miejsce zerowe ... ale to nie będzie to co napisałeś

salamandra: y=2x*w−(w²+1)

	−b		w2+1
miejsce zerowe=		=		?
	a		2w

	w2+1
Więc |AB|=
	2w

|BC|=−w²−1, bo punkt przecięcia z osią Y, to wyraz wolny?

wredulus_pospolitus: a czemu |BC| < 0

wredulus_pospolitus: poza tym −−− jest oki

salamandra: no tak, bzdura, to jest odległość, czyli wartość bezwzględna z tego? ale jak wtedy doprowadzić do w²+1?, wiem, że tyle będzie, ale nie wiem jak do tego dojść |BC|=√(−x²−1)²

wredulus_pospolitus: √ −(w²+1)² = |−(w²+1)| = w² + 1

salamandra:

	w2+1		1		w4+w2+w2+1		1		w4+2w2+1
P=		*w2+1*		=		*		=		?
	2w		2		2w		2		4w

Eta: Pamiętaj ,że ze względu na parzystość funkcji są dwa takie punkty P symetryczne względem osi OY

salamandra: o matko... jeszcze coś...

salamandra: rozwiązywałem źle− odpowiedź wyszła prawidłowa, robię dobrze i wynik mi wychodzi zły, to dopiero paradoks...

Eta: Kontroluj rachunki ! (obliczenia) jak kasjer w Biedronce

salamandra: Sprawdziłem to 00:27 z photomath, nigdzie się nie pomyliłem, nie wiem co jest grane

jc: Najlepsza jest styczna w punkcie (1/√3, 1/3−1).

Eta: w≠0

	1		1
P(w)=		(w3+2w+		)
	4		w

	1
P'(w)= U(1}{4}(3w2+2−		) =0
	w2

3w⁴+2w²−1=0

	√3
w2=1/3 , w=
	3

i leć dalej .......................

	√3		2		√3		2
Odp: P(		, −		) lub P(−		,−		)
	3		3		3		3

jc:

	4
Wtedy pole =		.
	9√3

salamandra: Skąd to P(w)? ?

Eta: P(w) −−− funkcja pola!

Eta: Punkt oznaczyłeś przez P pole przez P i masz kolizję oznaczeń

salamandra: Nie, akurat ta kolizja nic nie zmienia, bo mi z tej postaci funkcji w ogóle nie wychodzi to co Tobie

salamandra: Wiem ze funkcja pola, ale jak doszlas do tego zapisu, bo to troche inaczej niż u mnie

Eta: Po co oznaczasz współrzędne przez "w" ? P(x,x²−1)

	x2+1
A(		,0) C(0,−x2−1)
	2x

|BC|=|−x²−1|= x²+1

	1
|AB|=0,5|x+		|
	x

to

	1		1
P(x)=		(x2+1)(x+		)
	4		x

.......................

salamandra: To ja już dziś odpadam w takim razie, już się zagmatwalem kiedy to „w”, kiedy „x”, kompletna przestrzeń kosmiczna dziś...

wredulus_pospolitus:

	w2+1		(w2+1)2
P(w) =		*(w2+1)*0.5 =
	2w		4w

	4w(w2+1)*4w − 4(w2+1)2
P'(w) =
	16w2

	√3
licznik: (w2+1)[ 16w2 − 4(w2+1)] = (w2+1)[ 12w2 − 4 ] −−−−> w = ±
	3

jc: 0:19 y=2x*w−(w²+1) Szukamy teraz przecięcia z osiami. Wynik wyrazi się przez w.

salamandra: To może inaczej− co tu jest źle?

	w2+1		1		w4+w2+w2+1		1		w4+2w2+1
P(w)=		*(w2+1)*		=		*		=
	2w		2		2w		2		4w

	(4w3+2)*4w−(w4+2w+1)*4		16w4+8w−(4w4+8w+4)		12w4−4
P'(w)=		=		=		?
	16w2		16w2		16w4

salamandra: na końcu w mianowniku oczywiście 16w²

Jerzy:

	(4w3 + 4w)*4w − (w4 + 2w2 +1)*4
P'(w) =
	16w2

salamandra: nie wiem dlaczego zjadłem kwadrat przy 8w w nawiasie, dzieki Jerzy

Jerzy: W pierwszym nawiasie masz złą pochodną licznika.

salamandra: Już wszystko widzę, dzięki raz jeszcze ponad godzinę straciłem nad tym dziadostwem...

salamandra:

	12w4+8w2−4
P'(w)=
	16w2

mogę tutaj też badać tylko licznik, bo mianownik zawsze dodatni przez kwadrat? jak tak, to 12w⁴+8w²−4=0 t=w² t≥0 12t²+8t−4=0 / : 4 3t²+2t−1=0 Δ=16

	−2−4
t1=		=−1 ∉ D
	6

	−2+4		1
t2		=
	6		3

	1
w2=
	3

	√3		−√3
w=		v w=
	3		3

Jerzy: Tak.

salamandra: Czy wtedy wykres pochodnej będzie wyglądał tak?

jc: Jak nie masz tego zupełnie dość, to spójrz na ten rachunek: [(w²+1)²]' = 2(w²+1) (w²+1)' = 2(w²+1)2w = 4w(w²+1) Teraz

	(w2+1)2		[(w2+1)2]' w − (w2+1)2 w'
[		]' =
	4w		4w2

	4w(w2+1)w − (w2+1)2
=
	4w2

Kiedy mamy zero? 4w²(w²+1)=(w²+1)² 4w²=w²+1 3w²=1 −−− Skąd się u Ciebie wzięło 16 w mianowniku?

Jerzy: Ściślej licznika pochodnej, ale to nas właśnie interesuje.

salamandra: Jak wtedy dojść do tego o czym Eta powiedziała, że muszę pamiętać o symetrii? Bo z pochodnej

	√3		−√3
wynika, że dla		jest minimum, a dla		jest maksimum, a z tej symetrii
	3		3

	−√3
wychodzi na to, że dla		jest również minimum.
	3

salamandra: @jc,

	w4+2w2+1
no bo P(w)=		, więc pochodna ilorazu, to mianownik do kwadratu
	4w

Jerzy: Zauważ ,że w tych punktach pochodna zmienia znak inaczej.

salamandra:

	−√3
Co masz na myśli Jerzy? czyli tu nie jest klasycznie, że od (−∞;		) funkcja rośnie,
	3

	−√3		−√3		√3
więc w		osiąga maksimum, w przedziale (		;		) maleje, więc w
	3		3		3

	√3		√3
		osiąga minimum i w przedziale (		; ∞) znów rośnie?
	3		3

Jerzy:

	√3
W punkcie x = −		pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, czyli funkcja P(w) ma
	3

	√3
maksimum,natomiast w punkcie		zmienia znak z ujemnego na dodatni, czyli funkcja ma
	3

minimum. Pamiętaj,że zerowanie sie pochodnej, to jedynie warunek konieczny istnienia ekstremum. Warunkiem wystarczającym jest zmiana znaku pochodnej.

salamandra:

	−√3
No właśnie, w		osiąga maksimum, a według tej symetrii w tym punkcie owy trójkąt
	3

będzie miał NAJMNIEJSZE pole, tak jak napisała Eta 00:31

jc: salamandra, 1/4 jest liczbą. 1/4 wyciągasz przed pochodną. Oczywiście wynik będzie w każdym przypadku będzie taki sam.

salamandra: W którym miejscu?

jc: salamandra (5f)' = 5 f', choć można liczyć tak: (5f)' = 5' f + 5 f' = 5f' podobnie

	f		f'
(		)' =		, choć można liczyć tak:
	4		4

	f		f' 4 − f 4'		f' 4		f'
(		)' =		=		=
	4		42		16		4

To, że stałą możemy wyciągnąć przed znak pochodnej jest bardziej podstawową własnością niż wzory na pochodną iloczynu lub ilorazu.

salamandra: Tak, tylko ja pytałem konkretnie o to, jak rozpoznać kiedy trzeba wziąć pod uwagę symetrię? Bo

	−√3
odpowiedzią w tym zadaniu będzie również		, a z pochodnej wychodzi na to, że tam
	3

jest maksimum

Bleee: Salamandra... Powiedz − gdzie trafiłeś na to zadanie?

salamandra: Kiełbasa

Bleee: To Ci powiem − że z dnia na dzień coraz bardziej przekonany jestem do tego że Kiełbasa powinien sobie darować robienie zbiorów zadań.

salamandra: Za trudne?

wredulus_pospolitus: Nie jest trudne ... ale trzeba zwrócić uwagę na parę rzeczy.

jc: Pole wyraża się przez iloczyn długości, a te są modułami.

	(w2+1)2
Funkcja jest parzysta: P(w)=		= P(−w).
	4|p|

Bez modułu masz P(−w)=−P(w) i zamiast 2 minimów, masz minimum i maksimum.

salamandra: No jest oznakowane na czerwono (dla rozszerzenia) i dodatkowo z gwiazdką

Eta: We wpisie 16 marca na wykresie) 00:31 Pierwsze pole trójkąta rozpatrujesz dla x>0

	√3
zatem x=
	3

i ze względu na symetrię o osi OY

	√3
otrzymujesz x= −
	3

i po ptokach

wredulus_pospolitus: Zadanie od podstaw: W jakim punkcie paraboli o równaniu y=x²−1 należy poprowadzić styczną, aby trójkąt ograniczony tą styczną i osiami układu współrzędnych miał najmniejsze pole? 1) Wyznaczamy wzór stycznej do wykresu f(x) w punkcie P o współrzędnych (w, w²−1) y − f(x_o) = f'(x_o)*(x − x_o) y − (w²−1) = 2w*(x − w) y = 2w*x − (w² + 1) 2) wyznaczamy punkty przecięcia się stycznej z osiami OX i OY: z OY −> 0 − (w²+1) = a −> a = −(w²+1) −> W punkcie (0, −(w²+1) )

	w2+1		w2+1
z OX −> 0 = 2w*x − (w2+1) −−> x =		−> W punkcie (		,0)
	2w		2w

3) Określamy długości boków przyprostokątnych w rozpatrywanym trójkącie

	w2+1
|AB| =
	2*|w|

|BC| = w² + 1 4) Określamy wzór funkcji pola tegoż trójkąta:

	|AB| * |BC|		(w2+1)2
Pole(w) =		=
	2		4|w|

Eta: Po co się aż tak wysilać?

wredulus_pospolitus: I teraz jest istotna rzecz, której nie rozpatrywaliśmy wcześniej: a) zauważamy, że funkcja Pole(w) jest funkcją parzystą i od tej pory liczymy tylko dla w>0 i później odbijamy symetrycznie b) liczymy dla w ∊ R/{0} rozdzielając funkcję Pole(w) na dwa przypadki (|w| = w oraz |w| = −w <−−− w celu policzenia pochodnej)

salamandra: No na to to bym nie wpadł.... niech już zapomnę o tym zadaniu.... Głupio mi się przyznać, ale nadal mam zagwostkę największą z tym, czemu punktu P nie można określić poprzez (x,x²−1) skoro leży on na paraboli...

Eta: bo dla x>0 y=x²−1 i dla x<0 też y=x²−1 wniosek mamy dwa takie punkty jasne?

wredulus_pospolitus: I to jest moment, na którym (moim zdaniem) maturzyście się wyłożą w tym zadaniu (bo nie ćwiczy się tego na zajęciach).

Eta:

wredulus_pospolitus: Salamandra ... odnośnie stycznej i współrzędnych punktu P. Wzór ogólny na styczną do wykresu w punkcie P(x_o, f(x_o)): y − f(x_o) = f'(x_o)*(x − x_o) jak widzisz ... masz we wzorze dwie zmienne niezależne: x_o i x ... nie możesz ich (obu) zapisać jako jedna i ta sama zmienna Jeżeli chcesz napisać P(x, f(x)) ... proszę bardzo, ale wtedy x nie może występować, musi być inne oznaczenie tej zmiennej co przełoży się na mylną postać stycznej i ogólne zaplątanie się w temacie.

salamandra: Już po Twoim wpisie 00:31 to widziałem ale domyślam się, że jak trafię ponownie takie zadanie to najzwyczajniej o tym zapomnę

salamandra: No właśnie nie wiem czemu się zaplątałem, bo nie miałem tego typu zagwostek przy realizacji pochodnej i pisania stycznych

wredulus_pospolitus: Bo przy zadaniach na wyznaczanie stycznych, nie miałeś zadania optymalizującego −−− miałeś podane współrzędne punktu (czyli konkretną wartość w), bądź miałeś konkretną postać pochodnej i sprawdzałeś współrzędne punktu styczności. Bo przy wstępnych zadaniach na pochodne nie miałeś zadań optymalizacyjnych Innymi słowy −−− nie miałeś jeszcze zadania w którym wyznaczasz ogólny wzór dla CAŁEJ RODZINY stycznych do wykresu f(x).

Eta: Wredulus ... idź na

wredulus_pospolitus: Byłem Pierwsza dzisiejszego dnia

Eta: To sukces! ( ja do takiego jeszcze nie doszłam

wredulus_pospolitus: nie wiem czy sukces ... skoro podniosłem się z wyrka pół godziny temu

Eta:

wredulus_pospolitus: 2 tygodnie 'w izolacji' powoduje, że trochę mi się godziny poprzestawiały

Eta: Ja każdego dnia do 11

wredulus_pospolitus: Niestety − nie mam tak dobrze na co dzień, więc teraz 'szaleję'

an: y=x²−1⇒y'=2x liczę pole bez równania stycznej, i to chyba miał na myśli autor

1

1

x2−1

9x3

3x

1

P=

x0*y0=

(x+

)(x2−1+2x2)=

−

+

2

2

2x

4

2

4x

	27x2		3		1
P'=		−		−
	4		2		4x2

	27x4−6x2−1
P'=
	4x2

27x⁴−6x²−1=0

	√3		√3
x1=		lub x1=		x3,4 nierzeczywiste
	3		3

.....