stereometria- optymalizacja
salamandra: Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi 16
√3. Zbadaj jakie powinny być
wymiary tego graniastosłupa, aby suma długości wszystkich krawędzi była najmniejsza.
V=Pp*H
16
√3=Pp*H
Suma wszystkich krawędzi: 6a+3H
| | 16√3 | | 4 | | 64 | |
H= |
| = 16√3* |
| = |
| |
| | | | a2√3 | | a2 | |
6a+U{192}{a
2)=f(a)
| | 18a2*a2−(6a3+192)*2a | | 18a4−12a4−384a | | 6a4−384a | |
f'(a)= |
| = |
| = |
| = |
| | a4 | | a4 | | a4 | |
f'(a)=0 ⇔6a
3−384=0
6a
3=384
a
3=64
a=4
Pochodna < 0 w przedziale (−
∞;4), rosnąca w przedziale (4;
∞), więc w punkcie a=4 osiąga
minimum.
V=16
√3
16
√3=4
√3*H
H=4
Dla H=4 i a=4, czyli dla wszystkich krawędzi równych 4 ich suma jest najmniejsza.
Dobrze?
15 mar 19:40
wredulus_pospolitus:
Został zrobiony błąd który szczęśliwie nie wpływa na samo rozwiązanie
Patrz −−− podstać pochodnej a późniejsze określany przedziałów monotoniczności funkcji f(a)
Reasumując: NIGDY nie skracaj nieparzystego stopnia zmiennej przy określaniu monotoniczności
15 mar 19:55
salamandra: Mógłbyś rozwinąć, bo niestety nie widzę gdzie?
15 mar 19:57
wredulus_pospolitus:
| | a3 − 64 | |
f'(a) = |
| <−−− taką postać masz pochodnej po skróceniu 'co się da' |
| | a3 | |
przy monotoniczności masz zatem, że funkcja f(a) jest malejąca gdy f'(a) < 0
f'(a) < 0
a
3(a
3 − 64) < 0
a ∊ (0 ; 4)
gdybyś natomiast zostawił
| | 6a4 − 384a | | a4 − 64a | |
f'(a) = |
| = |
| |
| | a4 | | a4 | |
to wiesz, że a
4 > 0 dla dowolnego a ∊ D
f
więc f(a) < 0 ⇔ licznik < 0 ⇔ a
4 − 64a = a(a
3 − 64) < 0 ⇔ a ∊ (0;4)
Ty natomiast zrobiłeś (błędną) 'hybrydę' tych dwóch podejść, więc:
1) skróciłeś co się dało (tworząc mianownik który nie zawsze jest dodatni)
2) założyłeś, że znak pochodnej zależy jedynie od znaku licznika
15 mar 20:01
wredulus_pospolitus:
Tak jak napisałem −−− w tym konkretnym zadaniu nie ma to najmniejszego znaczenia.
Ale w innych zadaniach (jak chociażby na wyznaczenie monotoniczności funkcji, bądź
optymalizacyjne z większą liczbą ekstrem) doprowadziłoby to do błędnej odpowiedzi
15 mar 20:02
salamandra: Przecież mianownik będzie zawsze dodatni bo a musi być większe od zera?
15 mar 20:05
wredulus_pospolitus:
Jeszcze raz napiszę:
W TYM ZADANIU TO NIE JEST BŁĄD WPŁYWAJĄCY NA ROZWIĄZANIE ZADANIA
Ale w ogólnym przypadku jest to błąd.
salamandra −−− jasne ... a > 0 ... wskaż mi miejsce w którym to podajesz w rozwiązaniu
Druga sprawa ... skoro wiesz, że masz zał. a > 0 to czemu piszesz, że funkcja f(a) jest
malejąca w przedziale (−
∞, 4)
skoro w przedziale (−
∞, 0) funkcja (biorąc pod uwagę założenie w dziedzinie funkcji) w ogóle
nie przyjmuje wartości (nie jest określona)
Dlatego proponuję zapamiętać ... jak liczysz pochodną z ilorazu to NIE SKRACAJ zmiennej w
liczniku i mianowniku
15 mar 20:10
salamandra: Ok, No nie pisałem, bo to oczywiste, ze mianownik jest zawsze dodatni. Czyli lepiej po prostu
nie skracać licznika z mianownikiem?
15 mar 20:34
wredulus_pospolitus:
Tak ... bezpieczniej nie skracać niewiadomej −−− stałe jak będziesz miał ... skracaj se ile
wlezie ... ale zmienną zostaw
15 mar 23:20