ciąg funkcyjny lola456: Witam, mam do sprawdzenia zbieżność punktową i jednostajną ciągu funkcyjnego: f_n = U{x − n}{x + n} na przedziale X = (0, ∞) Obliczyłam funkcję graniczną f(x) = −1 następnie liczę odległość Czebyszewa, która jest supremum. I teraz moje pytanie:

	x − n
muszę policzyć supremum z |		+ 1|, co sprowadza się do policzenia sup z g(x) =
	x + n

	2x
		, natomiast ta funkcja nie ma ekstremum, czy to oznacza że ciąg funkcyjny nie jest
	x + n

jednostajnie zbieżny?

lola456:

	x − n
edit: poprawiam ciąg funkcyjny: fn =
	x + n

Adamm:

	2x		2x
supx>0 |		| ≥ 2, bo		→ 2 dla x → ∞
	x+n		x+n

lola456: Czyli dla tego zbioru nie będzie jednostajnie zbieżny, co natomiast dla zb. X = [1,2]? Wychodzi mi, że wtedy będzie zbieżny, ponieważ mamy supremum?

Adamm:

	2x		4
tak, supx∊[1, 2] |		| =		→ 0
	x+n		2+n

lola456: Dziękuję bardzo Mam jeszcze pytanie odnośnie tw. o różniczkowalnośc/całkowaniu granicy ciągu funkcyjnego, czy jeżeli granice są równe to wynika z tego, że odp. ciągi funkcyjne są jednostajnie zbieżne?

Adamm: to znaczy?

lola456: chodzi mi o czy jeżeli lim f'_n(x) = (lim f(x))' to czy można z tego wywnioskować, że f jest punktowo zbieżny a ciąg pochodnych jest jednostajnie zbieżny?

Adamm: co oznacza tutaj (lim f(x))' ?

lola456: pochodna granicy ciągu funkcyjnego, tam powinno być (lim f_n(x))', mój błąd

Adamm: co oznacza, że f jest punktowo zbieżny?

Adamm:

	xsin(nx)
fn(x) =		→ 0
	n2

	sin(nx)		xcos(nx)
fn'(x) =		+		→ 0
	n2		n

	1		sin(nx)
sup |fn'(x)| =		* sup |		+xcos(nx) | ≥
	n		n

1		1
	sup | xcos(nx) | −		= ∞
n		n2

Adamm: nie można wnioskować, że f_n' zbiega jednostajnie do f'