? Andrzej: Wykaż, że liczba x =³√9+4√5 + ³√9−4√5 jest liczbą pierwszą.

wredulus_pospolitus: wskazówka ... z całą pewnością można zapisać: (a + b)³ = 9 + 4√5 (a − b)³ = 9 − 4√5 znajdź 'a' i 'b' z powyższego układu równań

jc: Być może prościej (choć nie krócej) tak: x³=18+3x x=3, to liczba pierwsza x³−3x−18 = x³−3x² + 3x³−9x+6x−18 = (x−3)(x²+3x+6) drugi czynnik nie ma pierwiastków

jc: (3+√5)³=8(9+4√5) (3−√5)³=8(9−4√5)

pomoc: A skąd jest: x³=18+3x

jc: x=u+v x³=u³+3u²v+3uv²+v³=u³+v³+3uv(u+v)=u³+v³+3uvx x=³√9+4√5 + ³√9−4√5 u=³√9+4√5, v=³√9−4√5 u³+v³=18, uv=1 Dlatego x³=18+3x.

Mila: x =³√9+4√5 + ³√9−4√5 /³ x³=9+4√5+3*³√(9+4√5)²*³√9−√5+3*³√(9+4√5)*³√(9−√5)²+9−4√5 x³=18+3*³√(9²−16*5)*(9+4√5)+3*³√(9²−16*5)*(9−4√5) x³=18+3*(³√9+4√5 + ³√9−4√5 ) x³=18+3x

a7: x³=[³√9+4√5+³√9−4√5]³ podnosząc do trzeciej potęgi z wzoru (a+b)³=a³+3a^b+3ab²+b³ a³+ b³=18 3a²b+3ab²=3ab(a+b)= 2(³√9+4√5)*³√9−4√5)²)^1₃)*[³√9+4√5+³√9−4√5]= =3*(³√9+4√5+³√9−4√5) dlatego x³=18+3x

next: Pokażę jak przekształcić, by wyciągnąć pierwiastek. Najpierw rozpiszę wyrażenie pod pierwiastkiem: 9 + 4√5 =

72 + 32√5		27 + 45 + 27√5 + 5√5		27 + 27√5 + 45 + 5√5
	=		=		=
8		8		8

	27 + 3*9√5 + 3*15 + 5√5		33 + 3*32*√5 + 3*3*√52 + √53
=		=		=
	8		8

	(3 + √5)3		3 + √5
=		= (		)3
	8		2

analogicznie

	3 − √5
9 − 4√5= (		)3
	2

stąd

	3 + √5
3√9 + 4√5=
	2

	3 − √5
3√9 − 4√5=
	2

Wynikiem dodawania tych liczb jest 3.

wredulus_pospolitus: next −−− pragnę tylko zauważyć, że Twoje przekształcenia mają jeden podstawowy mankament −−− wiesz do czego chcesz dojść. W przeciwnym razie − skąd byś wiedział, że zaczynasz od pomnożenia i podzielenia przez 8.