Układy równań _: Czy drugi układ równań wynika z pierwszego? Wiemy, że:

	2m
kctgδ = −kctg(ak+δ) = (		U0−k2)1/2
	ħ2

m, ħ, U₀ stałe czy z tego wynika, że:

	kħ
sinδ = −sin(ka+δ)=
	(2mU0)1/2

_:

_:

Leszek: Napisz czego dotycza te uklady rownan ? ? Zapewne jest to z fizyki , mechaniki kwantowej , ale byc moze jest blad , bo jednostki fizyczne nia zgadzaja sie ?

_: Może faktycznie. Przepraszam, że tak bez kontenstu. Teraz dokładniej: Rozważamy cząstkę w studni potencjału. U(x) = 0 dla 0<x<a, U₀ dla pozostałych x m − masa cząstki E − energia cząstki (0<E<U₀) Na zewnątrz funkcja falowa cząstki:

	2m
ψ(x) = c1*e∓κ, κ = (		(U0−E))1/2 (−κ z prawej strony studni, +κ z lewej)
	ħ2

w środku:

	2m
ψ(x) = c2*sin(kx+δ), k = (		E)1/2
	ħ2

Wymagana jest ciągłość ψ i ψ' ale mam w książce, że wystarczy żądać ciągłości: ψ i ψ'/ψ Pierwszy układ równań wynika z wymogu ciągłości ψ'/ψ na granicach w następujący sposób: dla x≤0: ψ'/ψ = +κ dla x≥a: ψ'/ψ = −κ dla 0<x<a: ψ'/ψ = kctg(kx+δ) więc: dla x=0: kctg(k*0+δ) = +κ dla x=a: kctg(k*a+δ) = −κ

	2m
→ kctg(δ) = −kctg(k*a+δ) = κ = (		(U0−E))1/2
	ħ2

niestety nie wiem, skąd w książce wzięli ten drugi układ równań. (Z samej ciągłości ψ to nie wydaje się wynikać, bo dostaje się równania: c₁sinδ=c₂ c₁sin(ka+δ)=c₂e^−κa) Między jednym układem i drugim jest tylko "lub" (w sensie: "warunek <odnośnik do warunku ψ'/ψ=∓κ> przyjmuje na granicach jamy postać równań <pierwszy układ> lub <drugi układ>")

_: Dla kompletności: odnoszę się do książki Landau, Lifszyc, "Krótki kurs fizyki teoretycznej, tom 2, Mechanika kwantowa", wyd. 3 Konkretnie strony 80−82. Wydaje mi się, że jednostki się zgadzają ale pewnie problemem był brak wyjaśnienia oznaczeń z mojej strony.

Leszek: Nie jest zupelnie poprawnie : Na zewnatrz jamy potencjalne funkcja falowa ma postac : φ(x) = C₁* e^kx , gdzie k = √ 2m(U_o −E)/h² , oczywiscie to jest h/2π, tzw.h kreslone Wewnatrz jest dobrze : φ(x) = C₂*sin(kx+δ) , gdzie k = ....., ( bez U_o = 0 ) Pisze na komorce wiec nie wszystko moge napisac , policz starannie i wszystko sie zgadza Powodzenia !

_: Dziękuję za odpowiedź. Oczywiście na zewnątrz miało być c₁e^±κx a nie c₁e^±κ ale tak czy inaczej wszędzie później działałem jakby było c₁e^±κx i nie wiem skąd ten 2. układ. Mówisz, że się zgadza, w sensie że wyszło Ci

	kħ
sinδ = −sin(ka+δ)=
	(2mU0)1/2

czy, mówisz o postaci funkcji falowej?

Leszek: Sprobuj zastosowac w postaci warunku ciaglosci pochodnej logarytmicznej

1		dφ
φ		dx

Polecam : Zadania z mechaniki kwantowej ; I.I.Goldman i W.D.Kriwczenkow . Zawsze sprawdz otrzymany wynik na funkcje falowa z rownaniem rozniczkowym Schrodingera dla jamy potencjalnej wewnatrz i na zewnatrz !

Leszek: Znowu napisales znak ( = ) po sin ( kx + δ) , tego nie ma , natomiast jest k = √ 2mE/h² warunek dla k otrzymujesz z funkcji arcsin ( .....)

_: Może się nie rozumiemy. Skorzystałem z warunku ciągłości pochodnej logarytmicznej i dostałem jak należy:

	2m
kctgδ = −kctg(ka+δ) = (		U0−k2))1/2
	ħ2

	2mE
(oczywiście cały czas jest k = (		)1/2)
	ħ2

ale wg książki powinno się dostać też:

	kħ
sinδ = −sin(ka+δ) =
	(2mU0)1/2

i tego właśnie nie umiem dostać.

Leszek: Kolego , z pierwszego ukladu nie moze wynikac drugi uklad , poniewaz jeden uklad opisuje funkcje falowa dla innego obszaru niz drugi , drugi uklad wynika z warunkow brzegowych dla studni , to tak jak bys liczym granice funkcji w punkcie ale lewostronna i prawostronna , dla studni tez tak liczysz warunki ciaglosci dla jednego brzegu studni z prawej strony i na brzegu drugim studni z lewej strony dla funkcjii falowej wewnatrz studni i nastepnie warunki ciaglosci dla zewnetrznej funkcj falowej na zewnatrz studni w kazdym podreczniku jest to dokladnie zapisane !

_: Jak może opisywać funkcję falową dla innego obszaru, skoro jak rozumiem oba układy wynikają z warunków ciągłości ψ i ψ'/ψ (w szczególności w punktach x = 0 i x = a)? Dla jasności przez pierwszy układ rozumiem:

	2m
ctgδ = (		U0−k2)1/2=κ
	ħ2

	2m
ctg(ka+δ) = (		U0−k2)1/2=κ
	ħ2

Przez drugi:

	kħ
sinδ =
	(2mU0)1/2

	kħ
−sin(ka+δ) =
	(2mU0)1/2

Każdy z obu układów dotyczy całej ψ a nie ψ w poszczególnych obszarach.

_:

_: W każdym razie dziękuję za próby pomocy

Leszek: Kolego , dla wewnatrz jamy potencjalnej jest inne rownanie Schrodingera niz na zewnatrz jamy Od tego zacznij , sa to dwa rownania rozniczkowe inne i ich rozwiazania tez sa inne , rozwiazanie to wlasnie funkcja falowa φ(x) , rozwiaz rownania to sie przekonasz, Ty robisz to zadanie wyrywkowo fragmentarycznie , proponuje Ci zaczac od rownan Schrodingera i ich rozwiazan , a dopiero nakladamy warunki brzegowe na funkcja falowa ! Zrob od poczatku to zadania dla jamy symetrycznej bo na egzaminach dosc czesto daje sie zadanie z jama asymetryczna lub zjawiska tunelowego ! ! Wes kartki A4 , dlugopis i rozwiaz to zadanie z jama symetryczna , a potem z niesymetryczna , duzo roboty ala warto , na tym polegaja studia ! Powodzenia !

_: "Kolego , dla wewnatrz jamy potencjalnej jest inne rownanie Schrodingera niz na zewnatrz jamy" Oczywiście, że tak, bo potencjał jest inny. "rozwiazanie to wlasnie funkcja falowa φ(x)" Znowu, oczywiście. I rozwiązanie w odpowiednich obszarach jest takie jak napisałem 11.03 16:03 (z drobną, oczywistą, literówką, że κx a nie κ) Cała kwestia w tym jak z warunku ciągłości ψ i ψ'/ψ w punktach x=0, x=a wynikają te 2 równania, które już przytaczałem. Czy ja się aż tak bardzo niejasno wyrażam?

Leszek: Kolego, jasno piszesz ale dlaczego nie rozwiazujesz dokladnie calego zadania , napisalem Ci , wes kartki papieru , podrecznik i wyjdzie Ci drugi uklad rownan dla rozwiazania drugiego rownania Schrodingera z odpowiednimi warunkami brzegowymi ! ! ! Spawdzilem to ! ! !

_: "wyjdzie Ci drugi uklad rownan dla rozwiazania drugiego rownania Schrodingera z odpowiednimi warunkami brzegowymi" Co przez to rozumiesz? Przecież warunek ciągłości wymaga obu rozwiązań, bo ma je "zszyć" ze sobą na granicach. Żeby dostać 1. układ równań używam obu rozwiązań. Żeby dostać 2. układ pewnie też trzeba użyć obu ale tego nie zdołałem zrobić.

_: Jedyne co jeszcze widzę, to że nie tak jak pisałem c₁e^±κx, tylko c₁e^−κx i c₃e^κx, bo ta stała jest inna z różnej strony studni.

Leszek: Kolego, pisalem Ci , ze uzywam komorki a tu nie da sie wszystkiego napisac jak przy uzyciu komputera. Skorzystaj z tozsamosci trygonometrycznej typu:

	1
ctg2δ =		−1
	sin2δ

	2mU
oraz : ctg δ = √		−1
	h*h*k*k

Podstaw i bedzie dobrze !

Leszek: Pierwiastek po prawej stronie dotyczy calosci

	2mU
ctg δ = (		− 1 )1/2
	h2k2

_: Bardzo dziękuję! Teraz powinno się zgodzić