granica funkcji Magda: Hej, powiecie mi jak rozróżnić, której metody użyć do obliczania granic funkcji. Taki przykład:

	x2 − 1		2
a) lim(x→1)		=
	2x2−x−1		3

	x2 − 1		1
b) lim(x→∞)		=
	2x2−x−1		2

W obydwu przypadkach symbol nieoznaczony, a) rozłożone (x−1)(x+1), natomiast b) wyłączenie największej potęgi. Nie wiem jak wybierać metodę w danym przykładzie

Leszek: To zalezy czy granica jest liczona w punkcie , czy dla x→∞ ,

Magda: Ok, czyli jeżeli jest w punkcie to nie stosować wyłączenia największej potęgi? Czy granice jednostronne mogę robić z pochodnych?

wredulus_pospolitus: zauważ, że gdy masz granicę w punkcie to:

	x2(1 − 1/x)
limx−>1		=
	x2(2 − 1/x − 1/(x2))

	1 − 1/x		1 − 1		0
= limx−>1		=		=
	2 − 1/x − 1/(x2)		2 − 1 − 1		0

zupełnie nic Ci nie daje wyłączenie przed nawias i skrócenie ma sens tylko dla x−> ±∞ bo korzystamy z faktu, że wtedy

	a
		−> ±∞
	xα

tak, możesz korzystać 'ze szpitala' przy liczeniu granic jednostronnych

Magda: Dzięki

Patryk: Mam pytanko, do granic, jeśli mam, że lim dąży do +−∞ to nie ma problemu ale jeśli dąży do punktu np. 5 to muszę uwzględniać dwa przypadki? Tzn. dla lim dążącego do 5 z lewej strony i z prawej strony? Czy wystarczy, że uproszczę wyrażenie jak tylko można, podstawie punkt pod 'x' i obliczę granicę?

Leszek: Granica prawostronna moze byc inna niz lewostronna w danym punkcie , wiec trzeba liczyc obie granice !

Patryk: Czyli w tym przykładzie, który podała koleżanka wyżej trzeba by liczyć oddzielnie granicę dla 1⁻ i 1⁺?

wredulus_pospolitus: zacznijmy też od tego: A w jakim celu liczysz granicę w punkcie

wredulus_pospolitus: niekoniecznie

	x2 − 1		(x−1)(x+1)
zauważ, że limx−>1		= lim		=
	2x2 − x − 1		(2x+1)(x−1)

	x+1
= lim		<−−− brak symbolu nieoznaczonego
	2x+1

granica lewostronna równa prawostronnej

Leszek: W matematyce nie ma zadnego "automatyzmu" w rozwiazywaniu zadan , trzeba wykazac sie kreatywnoscia i miec "wyrobienie " matematyczne , a to zdobywa sie w miare rozwiazywania zadan , do czego namawiam , Powodzenia ! !

Patryk:

	0
To znaczy, że jeśli po uproszczeniu wyrażenia nie wyjdzie mi symbol nieoznaczony tzn.[		]
	0

to wtedy wystarczy, że podstawię punkt pod 'x'?

wredulus_pospolitus: Leszek ... w sumie jest (w pewnym stopniu) automatyzm ... natomiast kreatywność pozwala nam 'zaoszczędzić czas' w niektórych (wielu) przypadkach

Leszek: Tak " w pewnym stopniu " ale jak napisalem o kreatywnosci to widac to zwlaszcza w geometrii rachunku prawdopodobienstwa ......

wredulus_pospolitus:

	1
Nie tylko nieoznaczony bo może wyjść np.		(co symbolem nieoznaczonym nie jest) bądź
	±∞

będzie tak, że dla jednostronnych wyjdą zupełnie różne granice. Wszystko zależy od sytuacji, a sytuacje zależą przede wszystkim od tego czy funkcja jest w postaci klamerkowej czy też nie. Jak jest klamerkowa (bądź masz wartość bezwzględną i zmianę znaku w tymże punkcie) to od razu robisz granice jednostronne. Jeżeli masz 'w miarę normalnie' albo granice jednostronne będą sobie równe i równe wartości wyrażenia po skróceniu albo granice jednostronne będą równe ±∞ (niekoniecznie do tej samej nieskończoności) Zobacz granice tej funkcji dla x−> − 0.5

Patryk:

	3
Gdy podstawiłem pod wyrażenie od razu −0,5 to granica wyszła mi		a gdy podstawiłem pod
	4

	0,5
uproszczone wyrażenie wyszło mi
	0

wredulus_pospolitus: to źle podstawiłeś do pierwotnego: Mianownik:

	1		1
2x2 − x − 1 = 2*		− (−		) − 1 = 0
	4		2

Patryk: Fakt, zjadłem minusa

Patryk: Skoro wyszło 0 to granica będzie 0?

wredulus_pospolitus:

	5		0.5
A co to jest [		] a [		]
	0		0

Co się w szkole mówiło: "pamiętaj cholero, nigdy nie dziel przez ..."

Patryk: Myślałem, że w granicach to nie obowiązuje Czyli, że granica nie istnieje i trzeba obliczyć prawo i lewo stronną?

wredulus_pospolitus: nie wiesz czy istnieje czy nie ... musisz policzyć granice jednostronne

wredulus_pospolitus:

	0.5
ogólnie (przy liczeniu granic) wiesz co oznacza symbol		bo to jest = +∞
	0

Ale ... w tym przykładzie ukryta jest pułapka ... dlatego właśnie licz granice jednostronne