ucze sie calek Maciess: Jakas wskazówka co do całki z

1
(x2+1)3

Jest jakaś szybsza droga niz zabawa w rekurencyjne schodzenie w dół z potęgą w mianowniku? Przepraszam jeśli pytanie jest glupie ale dopiero zaczynam zabawe w calki

Leszek:

	1− t2
Podstawienie : x2 + 1 = (x +t)2 ⇒ x2 + 1= x2 +2xt + t2 ⇒ x=
	2t

dx = ....... Dokoncz

Maciess: Skąd pomysł na coś takiego? Wyszło mi −ln|t|−1/2t²+C i coś za ładnie

wredulus_pospolitus: to Ci coś źle wyszło

	1
chyba standardowe podstawienie: x = tg t −> dx =		dt
	cos2t

powinno sprowadzić do całki z cosinusa do potęgi .... 4 Chyba tak

jc:

dx

1

d

1

d

1

x

∫

=

[

(

arctg

)]

(x2+a2)3

8a

da

a

da

a

a

ale czy tak jest prościej?

Mariusz: Maciess wzór rekurencyjny ma "złożoność liniową" O(n) więc nie jest aż taki zły a np liczenie wyznacznika rozwinięciem Laplace np do rozwiązania układu z ułamków prostych lub z metody Ostrogradskiego na wydzielenie części wymiernej całki ma złożoność większą niż złożoność silni O(n!) Leszek , fajne podstawienie ale czy w tym przypadku coś da ?

Mariusz: Maciess jeśli chodzi o podstawienie którego użył Leszek to jedno z podstawień Eulera Podstawienia Eulera sprowadzają całki postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx gdzie R(x,y) to funkcja wymierna dwóch zmiennych 1. podstawienie Eulera stosujesz gdy a>0 i wygląda ono tak √ax²+bx+c=t−√ax 2. podstawienie Eulera stosujesz gdy c>0 i wygląda ono tak √ax²+bx+c=xt+√c 3. podstawienie Eulera stosujesz gdy b²−4ac>0 i wygląda ono tak √a(x−x₁)(x−x₂)=(x−x₁)t Teraz wyznaczasz x(t) , różniczkujesz x(t) i w razie potrzeby obliczasz pierwiastek Jeśli chcesz rozszerzyć zakres stosowania podstawień Eulera to możesz z nich skorzystać aby znaleźć podstawienie sprowadzające całki postaci ∫R(cos(x),sin(x))dx do całek z funkcji wymiernych np korzystając z 3. podstawienia Eulera otrzymujemy cos(x)=(1−sin(x))t Wzór Ostrogradskiego może nie jest szybszy ale trochę przypomina zarówno rozkład na sumę ułamków prostych jak i całkowanie przez części

	L(x)		L1(x)		L2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

M₂(x) w rozkładzie na czynniki posiada te same czynniki co M(x) tyle że pojedyncze M(x)=M₁(x)M₂(x) stopień L₁(x) < stopień M₁(x) stopień L₂(x) < stopień M₂(x) Aby wyznaczyć L₁(x) oraz L₂(x) korzystasz z metody współczynników nieoznaczonych M₂(x) ma mieć te same pierwiastki co M(x) tyle że pojedyncze więc M₂(x)=x²+1 a zatem M₁(x)=(x²+1)² Mamy więc

	1		a3x3+a2x2+a1x+a0		b1x+b0
∫		dx=		+∫		dx
	(x2+1)3		(x2+1)2		x2+1

1
	=
(x2+1)3

(3a3x2+2a2x+a1)(x2+1)2−4x(a3x3+a2x2+a1x+a0)(x2+1)
(x2+1)4

	b1x+b0
+
	x2+1

1
	=
(x2+1)3

(3a3x2+2a2x+a1)(x2+1)−4x(a3x3+a2x2+a1x+a0)
(x2+1)3

	b1x+b0
+
	x2+1

1=(3a₃x²+2a₂x+a₁)(x²+1)−4x(a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀)+ (b₁x+b₀)(x²+1)² 1=(3a₃x⁴+2a₂x³+a₁x²+3a₃x²+2a₂x+a₁) −(4a₃x⁴+4a₂x³+4a₁x²+4a₀x)+ (b₁x⁵+2b₁x³+b₁x+b₀x⁴+2b₀x²+b₀) 1=b₁x⁵+(b₀−a₃)x⁴+(2b₁−2a₂)x³+(2b₀+3a₃−3a₁)x² +(b₁+2a₂−4a₀)x+b₀+a₁ b₁=0 b₀−a₃=0 2b₁−2a₂=0 2b₀+3a₃−3a₁=0 b₁+2a₂−4a₀=0 b₀+a₁=1 b₁=0 b₀=a₃ a₂=0 5a₃−3a₁=0 a₀=0 a₃+a₁=1 b₁=0 b₀=a₃ a₂=0 a₀=0 5a₃−3a₁=0 a₃+a₁=1 b₁=0 b₀=a₃ a₂=0 a₀=0 5a₃−3a₁=0 3a₃+3a₁=3 b₁=0 b₀=a₃ a₂=0 a₀=0 8a₃=3 8a₃+8a₁=8 b₁=0 b₀=a₃ a₂=0 a₀=0 8a₃=3 8a₁=5

	1		1	3x3+5x		3		dx
∫		dx=			+		∫
	(x2+1)3		8	(x2+1)2		8		x2+1

	1		1	3x3+5x		3
∫		dx=			+		arctg(x)+C
	(x2+1)3		8	(x2+1)2		8

Mariusz: Jak się dobrze przyjrzeć to to amerykańskie podstawienie ma złożoność logarytmiczną czyli powinno być szybsze jednak wzór redukcyjny jest wygodniejszy w stosowaniu Korzystając ze wzoru redukcyjnego można funkcję pierwotną podać obliczając wszystko w pamięci

Mariusz: Co do wzoru redukcyjnego to możesz go wyprowadzać tak

	dx		(1+x2)−x2
∫		dx=∫		dx
	(x2+1)n		(x2+1)n

	1		−x2
=∫		dx+∫		dx
	(x2+1)n−1		(x2+1)n

	1		x	(n−1)(−2x)
=∫		dx+∫
	(x2+1)n−1		2n−2	(x2+1)ndx

	1		1	x		1		dx
=∫		dx+			−		∫
	(x2+1)n−1		2n−2	(x2+1)n−1		2n−2		(x2+1)n−1

	dx		1	x		2n−3		dx
∫		dx=			+		∫
	(x2+1)n		2n−2	(x2+1)n−1		2n−2		(x2+1)n−1

Albo w ten sposób

	dx		1+x2
∫		dx=∫		dx
	(x2+1)n		(x2+1)n+1

	dx		dx		x2
∫		dx=∫		+∫		dx
	(x2+1)n		(x2+1)n+1		(x2+1)n+1

	dx		dx		(−x)	n(−2x)
∫		dx=∫		+∫			dx
	(x2+1)n		(x2+1)n+1		2n	(x2+1)n+1

	dx		dx		1	x
∫		dx=∫		−			+
	(x2+1)n		(x2+1)n+1		2n	(x2+1)n

1		dx
	∫
2n		(x2+1)n

1	x		2n−1		dx		dx
		+		∫		dx=∫
2n	(x2+1)n		2n		(x2+1)n		(x2+1)n+1

	dx		1	x		2n−1		dx
∫		=			+		∫		dx
	(x2+1)n+1		2n	(x2+1)n		2n		(x2+1)n

jc: Podstawienie x=tg t ?

	1		1		3
całka = ∫ cos4 dt = ∫(		cos 4t +		cos 2t +		) dt =
	8		2		8

	1		1		3
=		sin 4t +		sin 2t +		t,
	32		4		8

t= arctg x

Mila:

	1		x2+1		1		2x
∫		dx=∫		dx −		∫x*		dx
	(x2+1)3		(x2+1)3		2		(x2+1)3

	1		x2+1		x
J1=∫		dx=∫		−∫x*		dx=
	(x2+1)2		(x2+1)2		(x2+1)2

	1
=∫		dx−[ J2]=arctg x−J1,2
	x2+1

	x
J1,2=∫x*		dx= przez części
	(x2+1)2

	x		x		1
u=x, du=dx, dv=		dx, v=∫		dx=podst −
	(x2+1)2		(x2+1)2		2(x2+1)

	x		1		1
J1,2=−		+		∫		dx
	2(x2+1)2		2		(x2+1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	1		x		1		1
J1=∫		dx=arctgx +		−		∫		dx
	(x2+1)2		(x2+1)2		2		(x2+1)

	1		x		1
J1=∫		dx=arctgx +		−		arctgx
	(x2+1)2		(x2+1)		2

	1		x
J1=		arctgx +
	2		(x2+1)

===================

	1		2x
J3=		∫x*		dx= to już powinno być dla Ciebie proste,( podstawienie)
	2		(x2+1)3

Maciess: Dziękuje za odpowiedzi. Mariusz dzięki wielkie za szczegółowe rozpisanie − jutro spróbuje to przetrawić, bo dziś juz nie zdąże.

Mariusz: Z darmowych książek do przeczytania masz http://matwbn-old.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=15&wyd=10&jez=pl http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/rachunek.html Jak ja chodziłem do szkoły to jako literaturę proponowali takie książki jak Franciszek Leja Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych Grigorij Michaiłowicz Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy (trzy tomy , całkowanie zaczyna się od drugiego)