Udowodnić że 3^n jest >= n^3 (Indukcja) 314141592: Witam Mam udowodnić, że 3ⁿ≥n³ Dla n=1 L₁=3¹=1 P₁=1³=1 więc 1≥1 dla n=2 L₂=3²=9 P₂=2³=8 więc 9≥8 dla n=3 L₃=3³=27 P₃=27 więc 27=27 dla n=4 L₄=3⁴=81 P₄=4³=64 więc 81≥64 Udowodnię że jeśli L_n≥P_n to L_n+1≥P_n+1 L_n+1=3ⁿ⁺¹= 3ⁿ * 3 = 3*Ln≥ (n+1)³ ← (z założenia) czyli 3*n³≥(n+1)³ 3≥((n+1)/n)³ 3≥(1+1/n)³ Moje pytanie brzmi czy w tym miejscu mogę skończyć dowód, argumentując że 1/n dąży do 0? Bo 3ⁿ≥n³ działa tylko dla n≥4 a od n≥4 (1+1/n)³ maleje.

wredulus_pospolitus: ok ... to wtedy tylko jeszcze wyliczasz a₁ tego ciągu o wyrazie ogólnym a_n = (1 +

	1
		)3 bo to będzie największy wyraz ciągu
	n

I pojawia się problem

314141592: skoro 3ⁿ≥n³ dla n≥4 to czy (1+1/n)³<3 też nie powinnam liczyć dla n≥4?

wredulus_pospolitus: no dobrze ... to sprawdzasz a₄ jeżeli zachodzi a₄ < 3 to, jako że jest to ciąg malejący (warto by było zbadać jego monotoniczność, tak dla świętego spokoju) to jest ograniczony przez pierwszy element ciągu, w tym przypadku ograniczasz przez a₄

wredulus_pospolitus: powiem tak −−− zapytaj się nauczyciela, czy 'puszczą' to na maturze za pełną liczbę punktów, jeżeli nie będziesz wykazywać monotoniczności ciągu tylko napiszesz, że jest malejący ponieważ 1/n −> 0

314141592: Ale to na studia

jc: Dla n = 3 mamy równość. W dowodzie wykorzystujemy nierówność: 3n³≥(n+1)³, prawdziwą dla n≥3.

wredulus_pospolitus: A jaki kierunek / uczelnia

314141592: Polecasz jakąś inną metodę na ten dowód?

314141592: matematyka na uniwersytecie

314141592: faktycznie dla n≥3 teraz widzę