Topologia WhiskeyTaster: Proszę o sprawdzenie, czy dobrze określam wnętrza, dopełnienia oraz brzegi: Dla zbioru A ⊆ ℛ wyznaczyć wnętrze, dopełnienie oraz brzeg. A = ∅: Int(A) = ∅, bo zbiór pusty jest otwarty, więc maksymalny zbiór otwarty będzie tym zbiorem cl(A) = ∅, bo zbiór pusty jest domknięty, więc minimalny zbiór zawierający zbiór domknięty jest zbiorem domkniętym Bd(A) = ∅\∅ = ∅ A = ℛ Int(A) = ℛ, bo cała prosta rzeczywista jest zbiorem otwartym, bo dopełnienie jest zbiorem domkniętym cl(A) = ℛ, bo ℛ to minimalny zbiór domknięty zawierający ℛ. ℛ jest domknięty, bo dopełnienie ma otwarte. Bd(A) = ℛ\ℛ = ∅ A = ℚ Int(A) = ℚ, bo ℚ jest zbiorem otwartym. Wynika to z jego gęstości, ale także z tego, że ℛ\ℚ jest domknięty, jako, że są to tylko liczby niewymierne. cl(A) = ℛ Bd(A) = ℛ\ℚ A = ℕ Int(A) = ∅ cl(A) = ℛ\ℚ (?) tak mi się wydaje, bo zawsze znajdziemy taką liczbę, by jej pierwiastek był dowolną liczbą naturalną. Bd(A) = (ℛ\ℚ)\∅ A = ℛ\ℕ Int(A) = ℚ\ℕ cl(A) = ℛ Bd(A) = ℛ\(ℚ\ℕ) A = ℛ\ℚ Int(A) = ∅ cl(A) = ℛ Bd(A) = ℛ\∅ A = [0, 1) Int(A) = (0, 1) cl(A) = [0, 1] Bd(A) = [0, 1]\(0, 1) A = (0, ∞) Int(A) = (0, ∞) cl(A) = [0, ∞) Bd(A) = [0, ∞)\(0, ∞)

Adamm: Weźmy liczbę wymierną x. Czy znalazłbyś dla mnie r>0, że (x−r. x+r)⊆Q ? Oczywiście, taka liczba r nie istnieje. Zawsze w (x−r, x+r) znajdziesz jakąś liczbę niewymierną. Tzn. Q nie jest otwarte. Nie zawiera nawet żadnego zbioru otwartego. Zatem int(Q) = ∅

Adamm: cl(N) Nie oszukujmy się, R to przestrzeń metryczna. (oczywiście cały czas zakładam, że mówimy tu o R z topologią euklidesową/metryką euklidesową) Weźmy ciąg x_n∊N, zbieżny do x. Nie jest trudne zobaczyć, że ten ciąg musi być od pewnego miejsca stały. Zatem x∊N. A stąd wynika, że cl(N) = N.