Analiza matematyczna Kielbasa acetyl: Uzasadnij, ze funkcja okreslona wzorem f(x)= 2x⁴ −5x³ +x² −x−1 ma w przedziale (−1,3) co najmniej dwa miejsca zerowe. Szukałam rozwiazań na forum niestety nie rozumiem ich, czy moze ktos to rozpisac jak najprosciej, ze zrozumieniem?

salamandra: bierz jakieś liczby z tego przedziału, i sprawdzaj jaką wartośc funkcja osiągnie dla niej, jeżeli będzie dodatnia, a w następnej którą weźmiesz będzie funkcja przyjmowala wartosc ujemna to znaczy ze musiala przeciąć oś X.

salamandra: f(−1)=8 f(2)=−7 więc na pewno chociaż raz musiało przeciąć, przykładowo

wredulus_pospolitus: Krok 1: sprawdzasz wartość funkcji na krańcach przedziałów: f(−1) = 2 + 5 + 1 + 1 − 1 > 0 f(3) = 2*81 − 5*27 + 9 − 3 − 1 = 162 − 135 + 9 − 3 − 1 > 0 Wniosek: w badanym przedziale, jeżeli jest jakieś miejsce zerowe, to jest ich PARZYSTA LICZBA Krok 2: zauważ, że f(0) = 0 − 0 + 0 − 0 − 1 < 0 czyli wiesz że jest jakiś miejsce zerowe na przedziale (0;1) to w połączeniu z krokiem 1 daje nam pewność, że są co najmniej dwa miejsca zerowe. Kooooniec.

janek191: f(−1) = 2 + 5 + 1 + 1 − 1 = 8 > 0 f (1) = 2 − 5 + 1 −1 − 1 = − 4 < 0 f ma miejsce zerowe w ( −1, 1) f(2) = 32 − 40 + 4 − 2 − 1 = −7 < 0 f(3) = 162 − 135 + 9 − 3 − 1 = 32 > 0 f ma miejsce zerowe w( 2, 3)

Mariusz: 2x⁴ −5x³ +x² −x−1=0 2 −5 1 −1 −1 5/8 2 −15/4 −43/32 −471/256 −4403/2048 5/8 2 −5/2 −93/32 −117/32 5/8 2 −5/4 −59/16 5/8 2 0 5/8 2

	5		59		5		117		5		4403
2(x−		)4−		(x−		)2−		(x−		)−		=0
	8		16		8		32		8		2048

	5		59		5		117		5		4403
(x−		)4−		(x−		)2−		(x−		)−		=0
	8		32		8		64		8		4096

	59		117		4403
y4−		y2−		y−		=0
	32		64		4096

	59		117		4403
(y2−py+q)(y2+py+r)=y4−		y2−		y−
	32		64		4096

	59		117		4403
y4+py3+ry2−py3−p2y2−pry+qy2+pqy+qr=y4−		y2−		y−
	32		64		4096

	59		117		4403
y4+(q+r−p2)y2+(pq−pr)y+qr=y4−		y2−		y−
	32		64		4096

	59		117		4403
y4+(q+r−p2)y2+p(q−r)y+qr=y4−		y2−		y−
	32		64		4096

	59
q+r−p2=−
	32

	117
p(q−r)=−
	64

	4403
qr=−
	4096

	59
q+r=−		+p2
	32

	117	1
q−r=−
	64	p

	4403
4qr=−
	1024

	59		117	1		59		117	1		4403
(−		+p2−			)(−		+p2+			)=−
	32		64	p		32		64	p		1024

	3481		59		13689	1		4403
(		−		p2+p4−			)=−
	1024		16		4096	p2		1024

3481		59		13689		4403
	p2−		p4+p6−		+		p2=0
1024		16		4096		1024

	59		1971		13689
p6−		p4+		p2−		=0
	16		256		4096

	z
p2=
	16

1		59		1971		13689
	z3−		z2+		z−		=0
4096		4096		4096		4096

z³−59z²+1971z−13689=0 z=9 729−59*81+1971*9−13689=0 729−4779+17739−13689=0 17739 729 18468 13689 4779 18468 18468−18468=0 0=0

	9
p2=
	16

	3
p=
	4

	59
q+r=−		+p2
	32

	117	1
q−r=−
	64	p

	4403
4qr=−
	1024

	59		117	1
2q=−		+p2−
	32		64	p

	59		117	1
2r=−		+p2+
	32		64	p

	4403
4qr=−
	1024

	3
p=
	4

	59		9		117	4
2q=−		+		−
	32		16		64	3

	59		9		117	4
2r=−		+		+
	32		16		64	3

	3
p=
	4

	59		9		39
2q=−		+		−
	32		16		16

	59		9		39
2r=−		+		+
	32		16		16

	3
p=
	4

	59		30
2q=−		−
	32		16

	59
2r=−		+3
	32

	3
p=
	4

	119
2q=−
	32

	37
2r=
	32

	3
p=
	4

	119
q=−
	64

	37
r=
	64

	59		117		4403
(y2−py+q)(y2+py+r)=y4−		y2−		y−
	32		64		4096

	3		119		3		37		59		117		4403
(y2−		y−		)(y2+		y+		)=y4−		y2−		y−
	4		64		4		64		32		64		4096

	5		3		5		119
2((x−		)2−		(x−		−		))
	8		4		8		64

	5		3		5		37
((x−		)2+		(x−		+		))=2x4 −5x3 +x2 −x−1
	8		4		8		64

	5		25		3		15		119
2(x2−		x+		−		x+		−		)
	4		64		4		32		64

	5		25		3		15		37
(x2−		x+		+		x−		+		)=2x4 −5x3 +x2 −x−1
	4		64		4		32		64

	1		1
2(x2−2x−1)(x2−		x+		)=2x4 −5x3 +x2 −x−1
	2		2

(2x²−x+1)(x²−2x−1)=0 Δ₁=1−4*2*1 < 0 Δ₂=4+4

	2−2√2
x1=
	2

	2+2√2
x2=
	2

x₁=1−√2 x₂=1+√2 Pozostałe dwa pierwiastki to dwie sprzężone liczby zespolone