Topologia WhiskeyTaster: Mamy przestrzeń metryczną (X, σ) oraz mam zapisane, że ∅, X są zbiorami otwartymi. Zbiór jest zbiorem otwartym, jeśli jest sumą kul. Tutaj mam pewne pytanie: otwartość zbioru pustego wynika z rachunku kwantyfikatorów? Definicja zbioru otwartego jest również taka: U ⊆ X, ∀_x∊U ∃_r>0 K(x, r) ⊆ U. Wobec tego można to zapisać tak: ∀_x(x ∊ U ⇒ (∃_r>0 K(x, r) ⊆ U)). Ale skoro zbiór pusty nie ma elementów, to poprzednik implikacji jest fałszywy, wobec czego następnik jest dowolny, tak? Dodatkowo z tego wynika, że X jest domknięty. A teraz w drugą stronę: X jest otwarty, bo zbiór pusty jest domknięty. I to również wynika z rachunku kwantyfikatorów?

jc: TAK TAK, ale to wynika z definicji zbioru domkniętego: X jest otwarty, bo jego dopełnienie, czyli zbiór pusty, jest domknięte.

WhiskeyTaster: Okej, dziękuję