Sposoby rozwiązywania nierówności AHQ: Udowodnij, ze dla liczb dodatnich a, b, c takich, ze abc = 1 zachodzi nierówność

1		1		1		3
	+		+		≥
ab+b		bc+c		ca+a		2

Udowodnij, że dla dodatnich liczb rzeczywistych a,b,c zachodzi nierówność:

	2		2		2		9
		+		+		≥
	x+y		y+z		z+x		x+y+z

Pokaże ktoś czy da się to zrobić inaczej niż mnożąc przez wspólny mianownik i wymnażając nawiasy ? Jakieś podstawienia, zależności między średnimi ?

Saizou : zad. 2 Am ≥ Hm

(x+y)+(y+z)+(z+x)		3
	≥
3		1   1   1   + + x+y   y+z   z+x

2		2		2		9
	+		+		≥
x+y		y+z		z+x		x+y+z

AHQ: @Saizou, a skąd od razu teza ? Co się stało po zapisaniu nierówności pomiędzy średnimi ? Na zadanie nr 1 też jest jakiś chytry sposób ?

Saizou : 1) Licznik po lewej stronie to 2(x+y+z) 2) mnożymy przez mianowniki 3) dzielimy obustronnie przez x+y+z stąd teza

AHQ: Super już mam. Dziękować za pomoc

AHQ: Gdyby kogoś ciekawiło to znalazłem rozwiązanie tej pierwszej nierówności: Udowodnij, ze dla liczb dodatnich a, b, c takich, ze abc = 1 zachodzi nierówność

1		1		1		3
	+		+		≥
ab+b		bc+c		ca+a		2

	x		y		z
Z założenia wiemy, że abc=1. zatem możemy podstawić a=		, b=		, c=
	y		z		x

	x		y		z
Dlaczego ? Zauważmy, że		*		*		=1=abc
	y		z		x

Po podstawieniu i łatwych przekształceniach otrzymamy postać:

z		x		y		3
	+		+		≥		,która jest już łatwa do pokazania
x+y		y+z		z+x		2