stereometria salamandra: Zadanie: w stożek obrotowy o promieniu podstawy długości R i wysokości długości H wpisany jest prostopadłościan w ten sposób, że jego podstawa zawarta jest w podstawie stozka, a wierzchołki drugiej podstawy należą do powierzchni bocznej stożka. Stosunek dlugosci krawędzi podstawy prostopadłościanu jest równy 2. Oblicz długość krawędzi prostopadłościanu o największej objętości. Dobry rysunek przekroju? to, że podstawa prostopadłościanu zawarta jest w podstawie stożka, to nie znaczy, że ma obejmować ją całą prawda?

jc: Zależy, jak patrzysz. Gdy ściana prostopadłościanu jest do Ciebie równoległa, to widzisz coś innego. Spójrz lepiej z góry. Górna ściana, czyli prostokąt, jest wpisana w okrąg.

salamandra: no tak, rozumiem, chodziło mi o to, czy takie coś nie musi być, ale raczej nie może i to głupie moje pytanie: (w tym sensie czy ma cały okrąg obejmować, ale jak mam zmieścić teraz pozostałe boki?)

jc: Obrazek, jaki narysowałeś, zobaczysz patrząc prostopadle do przekątnej.

salamandra: Mówisz o tym pierwszym?

Mila: a=2b

salamandra: Dziękuję, czyli dobrze myślałem. nie rozumiem tego "Stosunek dlugosci krawędzi podstawy prostopadłościanu jest równy 2" Ale stosunek dlugosci krawedzi podstawy prostopadłościanu do czego?

Mila: a, b −krawędzie podstawy prostopadłościanu

a
	=2
b

salamandra: a dobra, nieważne, ja na to patrzyłem jak na prostokąt biorę się za rozwiązywanie

salamandra: Patrząc na rysunek Mili

a
	=2
b

2b=a h− wysokość prostopadłościanu

H		H−h
	=
R		r

(2b)²+b²=(2r)² 4b²+b²=4r² 5b²=4r²

5
	b2=r2
4

	b√5
r=
	2

Hr=RH−Rh Ma sens w ogóle to co teraz zrobiłem?

Mila: Jak najbardziej , oblicz h i naprzód.

salamandra: troche inaczej zrobiłem, stosując przekrój

H−h
	={H}{R}
1   a 2

HR−hR=H*{1}{2}a

1		HR−hR
	a=		/ * 2
2		H

	2HR−2hR
a=
	H

b=2a Pp=a*2a=2a²

	2HR−2hR
V=2*(		)2*h itd, jest to ok?
	H

salamandra: cd. f(h)=4H²R²h−8HR²h²+4R²h³ f(h)=4R²h³−8HR²h²+4H^R2h f'(h)=12R²h²−16HR²h+4H²R² f'(h)=0 ⇔ 12R²h²−16HR²h+4H²R² =0 12R²h²−16HR²h+4H²R² =0 / : 4 3R²h²−4HR²h+H²R² Δ=16H²R⁴−12R⁴H²=4R⁴H² √Δ=2R²H

	16HR2−2R2H		14H		7H
h1=		=		=
	24R2		24		12

	18H		3H
h2=		=
	24		8

	7H
max dla
	12

	7H   2HR−2* *R   12		1		5
a=		= 2R−		R=		R
	H		6		6

	10
2a=		R
	6

salamandra: ale coś mi tu nie gra, więc wracam do tamtego: cd. 15:36

	b√5
r=
	2

	2√5r
b=
	5

2b=a

RH−Hr
	=h
R

	2√5r		4√5r		8
Pp=		*		=		r2
	5		5		5

	8		RH−Hr
V=		r2*
	5		R

	8RHr2−8Hr3
V=
	5R

f(r)=−8Hr³+8RHr² f'(r)=−24Hr²+16RHr −8Hr(3r−2R)=0 r=0 v 3r=2r

	2
r=		R
	3

	2
max dla r=		R
	3

2		b√5
	R=		/ * 2
3		2

4
	R=b√5
3

4√5
	R=5b
3

	4√5
b=		R
	15

	8√5
a=		R
	15

Mila: 16:03 źle Później napiszę. Zostaw na razie.

salamandra: Powinno być ok, bo kolega ma identyczny wynik, ale czekam

Mila: 16:53 Dobrze. Jednak napiszę wszystko, nie dałeś ograniczeń, a miałeś różnice.

salamandra: Nie czuję tych zadań, wybacz

Mila: 16:19 jest źle.

salamandra:

	1
To już wiem, nie potrafię sobie wyobrazić dlaczego np. to nie może być		a to co tam
	2

wziąłem, gdzie będą w ogóle punkty styku, jak wpaść na to, że ta podstawa prostopadłościanu tam na górze to prostokąt wpisany w okrąg, jak narysować przekrój czegoś takiego, no porażka totalna... mimo że mi wyszło, ale wyliczyć to nie problem

Mila: Nie szalej, masz drobne usterki. To zadanie należy do trudnych. Wytłumaczę, ale później, teraz nie mogę Rozwiązuj następne zadania.

Mila: cd. po 15:36

	HR−Hr
1) h=
	R

	b√5   H*(R− )   2
h=
	R

	b√5
R−		>0
	2

	b√5		2R√5
R>		⇔b<		⇔
	2		5

	2R√5
b∊(0,		)
	5

2)

	b√5   H*(R− )   2
V(b)=2b*b*
	R

	H
V(b)=		*(2Rb2−b3√5) (H/R− stała wielkość, b zmienna)
	R

	H
V'(b)=		*(4Rb−3b2√5)
	R

Teraz analizuj pochodną i napisz gdzie i dlaczego jest V_max

salamandra: −3b²√5+4Rb=0 −b(3b√5−4R)=0 b1=0 v 3b√5=4R

	4R		4√5R
b2=		=
	3√5		15

Pochodna mniejsza od zera w przedziale (−∞;b1), zmienia znak w b1, więc tam osiąga wartośc min, Pochodna większa od zera w przedziale (b1;b2), więc tam funkcja rośnie, zmienia znak w b2, więc tam osiąga wartość max Pochodna mniejsza od zera w przedziale (b2;∞), więc tam funkcja maleje To jest akurat łatwe, gorzej z wyobraźnią i tym co napisałem.

Mila: Teraz patrz na rysunek i kształtuj wyobraźnię. Będzie dobrze.

salamandra: Dziękuję Milu