dowodzenie nier jaros: Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b spełniających warunek a · b = 1, prawdziwa jest nierówność (1+1/a)(1+1/b)>=4 wymnozyłem, sporwadzilem do wspólnego ułamka otrzymałem a−3ab+b+1.=0 ale nic z tym wiecej nie umiem zrobic help

wredulus_pospolitus:

	1
a * b = 1 −> a =
	b

więc mamy nierówność do udowodnienia:

	1
(1 +		)*(1+a) ≥ 4
	a

	1		1
L = 1 + a +		+ 1 = 2 +		+ a ≥ 2 + 2 = 4
	a		a

musisz wykazać (wielokrotnie to się dowodziło), że dla dowolnej liczby dodatniej zachodzi:

	1
a +		≥ 2
	a

do dzieła

Saizou :

	1		1		1		1		1
(1+		)(1+		)=1+		+		+
	a		b		a		b		ab

Am ≥ Gm

1   1   1   1+ + +   a   b   ab		1		1		1		1
	≥ 4√1*		*		*		=√1*		=1
4		a		b		ab		12

zatem...

jaros: wredulus_pospolitus Dziękuje własnie rozbiłem tak jak ty, dowiodłem to z nier pomiedzy średnia aryt. i geo. i z tego udowodniłem to, że suma liczby i jej odwrotnosci jest zawsze większ lub równa 2 leczy czy trzeba to udowadniac czy mozna po prostu napisac? mozna tez skorzystac z wzoru skrócnomego mnozenia lecz ja wybralem nier pomiedzy srednimi

jaros: Saizou skad wiemy ze srednia lewa to aryt a nie harmoniczna?

Saizou : Doświadczenie

	1		1
chcemy oszacować (1+		)(1+		) z dołu, wiec raczej nie będziemy typować
	a		b

w średnią harmoniczną, bo w zestawie podstawowych średnich właśnie ona jest najmniejsza, wiec nic niżej nie znajdziemy

jaros: Hmm a da sie ten dowód skonczyć uzywając 1+1/a+1/b+1/ab ≥ 4√ab/ab

Saizou : Zapisz to porządnie. Jak nie wiesz jak to zrobić, to tutaj masz instrukcje matematyka.pisz.pl/forum/przyklady9.html

jaros:

	1		1		1		√ab
1 +		+		+		≥ 4
	a		b		ab		ab

jaros: jest git?

Saizou : Skąd masz taką nierówność?

jaros:

	1
No prawa stona po wymnozeniu jest równa √
	ab

jaros: z towjego zapisu sr geometrycznej

Saizou : Okej, bo zmylił mnie ten √ab. po lewej stronie masz

	1		1
(1+		)(1+		) (zobacz post z 18:09)
	a		b

no a po prawej korzystasz z faktu, że ab=1

jaros: znaczy ja mam pytanie czy wyzej wymienione równania dało by sie jeszcze jakoś dopełnić do kwadratu

jaros: Bo twoim tokiem to mnoze przez 4 i juz otrzymuje wyjsciowa nierownosc

Saizou : Ja na razie nie widzę, czy da się to jakiś przyjemny sposób zwinąć.