stereometria salamandra: Proszę o potwierdzenie rozwiązania zadań, będę je po kolei dodawał: 1. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb przedstawiony na rysunku. Ściany boczne tego graniastosłupa tworzą kąty dwuścienne o miarach: Rozważam trójkąt ACM. z tw. sinusów:

20		10
	=
sin90		α   sin   2

	α
10=20*sin
	2

	α		1
sin		=
	2		2

α
	=30
2

α=60 więc β=120 odp. 60 i 120.

a7: jeszcze można tak

	α		10		1
sin		=		=
	2		20		2

α
	=30 czyli α=60 czyli β=120
2

Jerzy: Krócej: sin(α/2) = 10/20 = 1/2 ⇔ α/2 = 30 ⇔ α = 60

salamandra: 2. Trójkąt DBC₁ jest przekrojem graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, który tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60. Wysokość tego graniastosłupa ma dlugosc: DB=12√6*√2 = 12√12=24√3

	H
tg60=
	12√3

	H
√3=
	12√3

36=H

salamandra: Macie racje, wczorajsza wersja tego zadania którą dodałem wymagała tw. sinusów i tutaj z automatu już tak zrobiłem

a7: grunt, że wyszło

Jerzy: 11:31 dobrze.

salamandra: 3. Czworokąt ABCD jest przekorjem prostopadłościanu przedstawionego na rysunku. Pole tego przekroju jest równe Rozważam trójkąt AMD

	8
sin30=
	AD

AD=16 P=16*6=96 I do tego mam takie pytanie, bo ten przekrój to tak jakby przekątna ściany bocznej, to jakim cudem tak jest 30 stopni a nie 45?

salamandra: 4. W podstawie graniastosłupa prostego jest trapez prostokątny którego kąt ostry ma miarę 36 stopni. Największy kąt dwuścienny jaki tworzą ściany tego graniastosłupa ma miarę równą: 144 stopnie, tu nie wymaga chyba obliczeń, chyba że jest to podchwytliwe. 5. Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez prostokątny. Najdłuższa przekątna tego graniastosłupa tworzy z płaszczyzną kąt?

	10
tgα=		⇔ α=45
	10

Jerzy: Czy kąt 30 jest podany w treści zadania ?

salamandra: tak

salamandra: w 5−tym oczywiście z płaszczyzną podstawy*

Jerzy: A dlaczego miałby być równy 45 ?

salamandra: 6. Kąt jaki tworzy przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z płaszczyzną podstawy ma miarę równą? AC=a√2

	a√2		√2		√12		2√3
tgα=		=		=		=		= √3
	a√6		√6		2		2

α=60

salamandra: no bo skoro to tak jakby idzie po przekątnej ściany bocznej, to nie powinna to być dwusieczna kąta 90?

salamandra: Dobra nieważne, przekątne w prostokącie nie są dwusiecznymi.

salamandra: 7. Krawędź boczna graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest 7 razy dłuższa od krawędzi podstawy. Cosinus kąta jaki tworzy przekątna ściany bocznej z płaszczyzną podstawy jest równy. 21²+3²=d² d²=450 d=√450 = 3√50=15√2

	3		3√2		√2
cosα=		=		=
	15√2		30		10

salamandra: 8. Najdłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 12 i tworzy z najdłuższą przekątną podstawy kąt o mierze 60. Zatem krawędź podstawy tego graniastosłupa ma dlugosc:

	2a
cos60=
	12

1		2a
	=
2		12

4a=12 a=3

salamandra: 9. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt o mierze równej:

	8√3		1
cosα=		=
	16√3		2

α=60

salamandra: 10. Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego tworzy z przekątną ściany bocznej kąt α. Zatem tgα=?

	3
cos60=
	d

d=6

	3		1
tgα=		=
	6		2

salamandra: Prawda/Fałsz

	√3
W sześcianie przekątna tworzy z krawędzią podstawy taki kąt α, że cosα=
	3

	a		1		√3
cosα=		=		=
	a√3		√3		3

Prawda

salamandra: Prawda/Fałsz W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym, którego wszystkie krawędzie mają dlugosc 10, krótsza przekątna ma długość równą 20? 10√3, bo przekątna podstawy (krótsza) to dwie wysokości trójkąta równobocznego o boku 10. 10²+(10√3)²=d² d=√400=20 Prawda

salamandra: Prawda/Fałsz W podstawie graniastosłupa prostego jest trapez prostokątny. Największy kąt dwuścienny tego graniastosupa ma miare rowna 150? Więc największy kąt= 135, więc fałsz.

salamandra: Na razie tyle, teraz zabieram się za ostrosłupy.

salamandra: Ostrosłupy 1. Jeżeli krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma dlugosc 18, to odleglosc spodka wysokosci tego ostroslupa od wierzcholkow podstawy jest równa?

	18√3
h=		= 9√3
	2

2
	h− szukana odległość
3

2
	*9√3=6√3
3

2. Podstawą ostrosłupa jest prostokąt. Jeżeli sinα=0,72, gdzie α to kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy i wysokość=36, to krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość równą:

72		36
	=
100		x

x=50

salamandra: 3. Promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równy 6√3, a dlugosc krawędzi bocznej 12. Zatem krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem? Promień okręgu opisanego to odległość od spodka wysokości do wierzchołka. R=6√3

	6√3		√3
cosα=		=		⇒ α=30
	12		2

salamandra: W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym krawędź podstawy ma dlugosc 4, a wysokosc 12. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszyczny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy? wysokość jednego z sześciu trójkącików równobocznych w podstawie = 2√3 wysokość ostrosłupa= 12

	12		6		6√3
tgα=U{H}{2√3 =		=		=		= 2√3
	2√3		√3		3

salamandra: 5. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość 6√2 a wysokość 3√6. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem?

	3√6		√6		2√3
tgα=		=		=		= √3 ⇒ α=60
	3√2		√2		2

salamandra: 6. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość 6, a krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60. Zatem wysokość tego ostrosłupa ma długośc równą? d=3√2 tg60=√3

	H
√3=
	3√2

H=3√6

salamandra: 7. Prawda/Fałsz Na rysunku przedstawiony jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Jeżeli BC=10 i SO=5√3 to ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 45? MO=5√3

	5√3
tgα=		⇒ α=45 Prawda
	5√3

salamandra: 8. Na rysunku przedstawiona jest siatka ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. oblicz: a) miarę kąta zawartego między krawędzią boczną ostrosłupa, a przekątną podstawy b) długość wysokości ostrosłupa c) pole powierzchni bocznej ostrosłupa a) rozumiem, że ten kąt, to ten sam kąt co kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy? jesli tak, to

	1		1
d=		*4√12 =		*8√3 = 4√3
	2		2

	4√3		√3
cosα=		=		→ α = 30
	8		2

	√3
b) tg30=
	3

√3		H
	=
3		4√3

12=3H H=4 c) (2√6)²+h²=8² h=√40=2√10

	4√6*2√10
Pb=4*		= 16√60=32√15
	2

salamandra: 9. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy

	√6
pod kątem α takim, że tgα=		.
	3

Wiedząc, że a=12√2, oblicz a) długość wysokości H ostrosłupa, b) kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszcyzzny podstawy c) odległość punktu O od krawędzi bocznej

	√6
tgα=
	3

√6		H
	=
3		6√2

6√12=3H 12√3=3H H=4√3

	4√3		√3
b) tgβ=		=		⇒ β=30
	12		3

c)

	t
sinβ=
	12

	t
sin30=
	12

1		t
	=
2		12

2t=12 t=6

salamandra: To tyle, naprawdę byłbym wdzięczny, gdyby ktoś na to zerknął między innymi na to ostatnie podpunkt c), reszty jestem w 90% pewien, mimo wszystko z góry dziękuję

Jerzy: Cały dzień wrzucasz te zadania, prosisz o sprawdzenie, ale nie stać cię na słowo „dziękuję”.

salamandra: Jerzy, dobrze wiesz, że za każdym razem dziękuję i jestem wdzięczny. Podziękowałbym na koniec Jeżeli czujesz się mimo to urażony− to dziękuję Ci i a7 za sprawdzenie tych dwóch zadan.

a7: salamandra ja nie sprawdzałam, bo wolałabym mieć zadania w osobnych wątkach, ponadto było ich tyle że mi się odechciało zadanie 9 c wydaje mi się, że dobrze, ale sprawdzać to ja wolę mieć znany wynik, bo się nieraz sama nieźle mylę w obliczeniach

salamandra: No a ja nie chciałem zaspamować forum , dlatego je tak scisnalem. Nie dziwie Ci się, mi tez pewnie by się nie chciało, każdy tu jest hobbystycznie i jak ktoś by na to zerknął, to byłbym mega wdzięczny, teraz to już jak to Eta mówi „po ptokach” raczej, bo mam jutro sprawdzian z wielościanów (prawdopodobnie z tych zadań) i muszę po prostu zaufać swoim rozwiązaniom nie mniej dziękuję

a7: ja trochę rzucałam okiem na Twoje wątki i widać, że umiesz

a7: a dlaczego nie wziąłeś zadań do których są rozwiązania (wyniki)?

a7: a już rozumiem, to Twoje "typy" na sprawdzian,

salamandra: To są zadania, które rok temu były na sprawdzianie u mojego nauczyciela, śmiem twierdzić, ze będą podobne, bo dostaliśmy je w ramach powtorzenia, a odpowiedzi nie mam, są w kreatorze sprawdzianów podkowa, do którego dostępu nie mam haha

a7: W takim razie powodzenia jutro!

Mila: Jutro sprawdzę wszystko po kolei

salamandra: Dziękuję, sprawdzian punktualnie o 9:40 więc nawet jak ich nie dostanę na sprawdzianie, to warto mimo to do matury wiedzieć, czy nie popełniłem tu błędu

a7: (a no własnie po pierwsze to myślałam też/również, że może Mila sprawdzi jako, że często Ci różne rzeczy wyjaśniała) Pozdrawiam

ite: zad.9 (16:54) wyniki prawidłowe

salamandra: Dzięki

Mila: Zadanie 3. 11:41 dobrze. Nie ma tam kąta 45 ⁰, bo ściana boczna nie jest kwadratem.