aksjomat Wolfik: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie cos²x−cosx+m=0 ma co najmniej jedno rozwiązanie Niech cosx=t i t∊<−1,1> t²−t+m=0 Δ≥0 1−4m≥0

	1
m∊(−∞,		>
	4

wredulus_pospolitus: za mało ... niech m = −10'000'000'000'000 wtedy cos²x − cosx = 10'000'000'000'000 <−−− nierealne bo lewa strona nie będzie większa od 2 (co zachodzi dla cosx = −1)

Leszek: Ale t = < −1 ; 1> musisz to uwzglednic !

wredulus_pospolitus: więc sprawdzamy:

	1 + √1−4m
t1 =		≤ 1
	2

	1 − √1−4m
t2 =		≥ −1
	2

przynajmniej jedno z tych równań musi być spełnione zauważ, dodatkowo, że zawsze zajdzie t₁ ≥ 0.5 oraz t₂ ≤ 0.5

Wolfik:

	1
z t1 i t2 wychodzi m∊<−2,∞) a z tym co ja zapisałem mamy <−2,		>
	4

czyli t₁ i t₂ spełnia, bo gdyby nie spełniało to wyszedłby zbiór pusty? i dlaczego zawsze zajdzie t₁≥0.5 oraz t₂≤0.5?

wredulus_pospolitus: ponieważ √1−4m ≥ 0

	1 +√1−4m		1 + 0
więc t1 =		≥		= 0.5
	2		2

analogicznie z t₂

Wolfik: a z tym "czyli t1 i t2 spełnia, bo gdyby nie spełniało to wyszedłby zbiór pusty?" mam racje?

wredulus_pospolitus: t₁ ≤ 1 −> √1−4m ≤ 1 −> m ∊ < 0 ; 1/4> (uwzględniam już warunek: √Δ ≥ 0) t₂ ≥ −1 −> √1−4m ≥ 3 −> m ∊ <−2 ; 1/4> (uwzględniam już warunek: √Δ ≥ 0) więc ostatecznie : m ∊ <−2 ; 1/4>

wredulus_pospolitus: 20:31 ... tak ... gdyby nie istniało takie t₁, t₂ które by spełniało te warunki, to w odpowiedzi byłby zbiór pusty.

Wolfik: dziękuję!