Rachunek różniczkowy rach_ciach: Rozwiąż równianie: 2xy²−y+(x+y+y²)*y'=0 Moje rozwiązanie: Pomnożyłam obie strony przez dx (y−2xy²)dx+(x+y+y²)dy=0

	dP		dQ
I mam problem co dalej. Warunek		=		mi się nie zgadza, a nie wiem jak znaleźć
	dy		dx

czynnik całkujący.

Mariusz: 2xy²−y+(x+y+y²)*y'=0 Coś ze znakami pomyliłaś podczas mnożenia 2xy²−y+(x+y+y²)*y'=0 (2xy²−y)dx+(x+y+y²)dy=0 P(x,y)=2xy²−y Q(x,y)=x+y+y²

δP
	=4xy−1
δy

δQ
	=1
δx

Czy czynnik całkujący jest o rozdzielonych zmiennych ?

δμP		δμQ
	=
δy		δx

μ(x,y)=φ(x)ψ(y)

δφ(x)ψ(y)P(x,y)		δφ(x)ψ(y)Q(x,y)
	=
δy		δx

	dψ		δP		dφ		δQ
φ(x)(		P(x,y)+ψ(y)		)=ψ(y)(		Q(x,y)+φ(x)		)
	dy		δy		dx		δx

	dψ		δP		dφ		δQ
φ(x)		P(x,y)+φ(x)ψ(y)		=ψ(y)		Q(x,y)+ψ(y)φ(x)
	dy		δy		dx		δx

	δP		δQ		dφ		dψ
φ(x)ψ(y)		−ψ(y)φ(x)		=ψ(y)		Q(x,y)−φ(x)		P(x,y)
	δy		δx		dx		dy

δP		δQ		1	dφ		1	dψ
	−		=			Q(x,y)−			P(x,y)
δy		δx		φ(x)	dx		ψ(y)	dy

Niech

1	dφ
		=f(x)
φ(x)	dx

1	dψ
		=g(y)
ψ(y)	dy

Mamy zatem

dφ
	=f(x)dx
φ

dψ
	=g(y)dy
ψ

gdzie spełniona jest równość

δP		δQ
	−		=Q(x,y)f(x)−P(x,y)g(y)
δy		δx

U nas mamy P(x,y)=2xy²−y Q(x,y)=x+y+y²

δP
	=4xy−1
δy

δQ
	=1
δx

4xy−2=(x+y+y²)f(x)−(2xy²−y)g(y) 4xy−2=(x+y+y²)f(x)−y(2xy−1)g(y)

	B
4xy−2=(x+y+y2)A−y(2xy−1)
	y

A=0 B=−2

dψ		2
	=−		dy
ψ		y

ln|ψ|=−2ln|y|

	1
ψ(y)=
	y2

	1
μ(x,y)=ψ(y)=
	y2

(2xy²−y)dx+(x+y+y²)dy=0

	1		x		1
(2x−		)dx+(		+		+1)dy=0
	y		y2		y

δP		1
	=
δy		y2

δQ		1
	=
δx		y2

δF		1
	=2x−
δx		y

	x
F(x,y)=x2−		+f(y)
	y

δF		x		1
	=		+		+1
δy		y2		y

x		x		1
	+f'(y)=		+		+1
y2		y2		y

	1
f'(y)=		+1
	y

f(y)=ln(y)+y

	x
F(x,y)=x2−		+ln(y)+y
	y

Całka ogólna równania różniczkowego w postaci uwikłanej to

	x
x2−		+ln(y)+y=C
	y

Mariusz: Inny sposób rozwiązania 2xy²−y+(x+y+y²)y'=0 y(2xy−1)+(x+y+y²)y'=0 y(2xy−1)x'+(x+y+y²)=0 u=2xy−1

	u+1
x=
	2y

	2yu'−2(u+1)
x'=
	4y2

	yu'−u−1
x'=
	2y2

	yu'−u−1		u+1
yu		+		+y+y2=0
	2y2		2y

	yu'−u−1		u+1
u		+		+y+y2=0
	2y		2y

yuu'−u2−u		u+1		2y(y+y2)
	+		+		=0
2y		2y		2y

yuu'−u²−u+u+1+2y²+2y³=0 yuu'−u²+1+2y²+2y³=0

	u		1+2y2+2y3	1
u'−		+
	y		y	u

	u		1+2y2+2y3	1
u'−		=−
	y		y	u

a to jest równanie Bernoulliego v=u² v'=2uu'

	u2		1+2y2+2y3
2uu'−2		=−2
	y		y

	2v		1+2y2+2y3
v'−		=−2
	y		y

	2v
v'−		=0
	y

	2v
v'=
	y

v'		2
	=
v		y

ln|v|=2ln|y|+ln|C| v=Cy² v(y)=C(y)y²

	1+2y2+2y3
C'(y)y2+2yC(y)−2yC(y)=−2
	y

	1+2y2+2y3
C'(y)y2=−2
	y

	1+2y2+2y3
C'(y)=−2
	y3

	1
C(y)=−2(−		+2y+2ln|y|)
	2y2

	1
C(y)=(		−4y−4ln|y|)
	y2

	1−4y3
C(y)=(		−4ln|y|)+C1
	y2

v(y)=C(y)y² v(y)=1−4y³−4y²ln|y|+C₁y² u²=1−4y³−4y²ln|y|+C₁y² (2xy−1)²=1−4y³−4y²ln|y|+C₁y² 4x²y²−4xy+1=1−4y³−4y²ln|y|+C₁y² 4x²y²−4xy=−4y³−4y²ln|y|+C₁y² 4x²y−4x=−4y²−4yln|y|+C₁y 4x²y−4x+4y²+4yln|y|=C₁y